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    連云港市2009屆高三數(shù)學(xué)模擬試題一
    數(shù)學(xué)（必做題）
    　組卷：閆振仁 
    一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上．
    1．  已知集合,則=   　　  ．
    

    試題詳情
    

    2．已知直線，當(dāng)        
時(shí)，．
    

    試題詳情
    

    3．若將ww w.ks
5u.c om一枚硬幣連續(xù)拋擲三次，則出現(xiàn)“至少一次正面向上”的概率為   　　  ．
    

    試題詳情
    

    4．是純虛數(shù)，則   　　  ．
    

    試題詳情
    

    5．若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且漸近線方程是，則這條雙曲線的方程是  　　   ．
    

    試題詳情
    

    6．右圖是一個(gè)算法的程序框圖，該算法所輸出的結(jié)果是   　　  ．
    

    試題詳情
    

    


    
 
    
  
 
    
 
    
  
  
 
    

    


     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    7．已知正三棱錐主視圖如圖所示，其中中，，則這個(gè)
    

    試題詳情
    

    正三棱錐的左視圖的面積為         
    

    試題詳情
    

    8．從某項(xiàng)綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計(jì)如下表，則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為     ．
    分?jǐn)?shù)
    5
    4
    3
    2
    1
    人數(shù)
    20
    10
    30
    30
    10
     
     
     
    

    試題詳情
    

    9．若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，k稱為公比和．已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，則   　　  ．
    

    試題詳情
    

    10．動點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動，則的取值范圍是   　　  ．
    

    試題詳情
    

    11．已知，則=        
．
    

    試題詳情
    

    12．已知，設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，那么    　　 ．
    

    試題詳情
    

    13．已知P為拋物線的焦點(diǎn),過P的直線l與拋物線交與A,B兩點(diǎn)，若Q在直線l上,且滿足，則點(diǎn)Q總在定直線上．試猜測如果P為橢圓的左焦點(diǎn)，過P的直線l與橢圓交與A,B兩點(diǎn)，若Q在直線l上,且滿足，則點(diǎn)Q總在定直線              上．
    

    試題詳情
    

    14． 曲邊梯形由曲線所圍成，過曲線上一點(diǎn)P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個(gè)面積最大的普通梯形，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．
    15（本小題滿分14分） 
    

    試題詳情
    

    二、解答題：本大題共6小題，共90分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
    在中，．
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）求邊的長度；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求中線的長度．
     
     
     
     
     
     
     
     
    16（本小題滿分14分）
    

    試題詳情
    

    如圖，正三棱柱中，已知，為的中點(diǎn)．
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）求證：；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）試在棱上確定一點(diǎn)，使得平面． 
    

    試題詳情
    

    


    
 
    
  
 
    
 
    
  
  
 
    

    

 
     
     
     
     
     
     
     
     
    17（本小題滿分15分）
    

    試題詳情
    

    已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，Q是橢圓外的動點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足．
    

    試題詳情
    

       （Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；
       （Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
    

    試題詳情
    

       （Ⅲ）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由．
    

    試題詳情
    

    
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    18（本小題滿分16分）
    

    試題詳情
    

    為了保護(hù)一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護(hù)罩內(nèi)充入保護(hù)氣體.假設(shè)博物館需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成：罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費(fèi)用1千元；‚需支付一定的保險(xiǎn)費(fèi)用，且支付的保險(xiǎn)費(fèi)用與保護(hù)罩容積成反比，當(dāng)容積為2立方米時(shí)，支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為8千元.
    （Ⅰ）求博物館支付總費(fèi)用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式；
    （Ⅱ）求博物館支付總費(fèi)用的最小值；
    

    試題詳情
    

    （Ⅲ）如果要求保護(hù)罩可以選擇正四棱錐或者正四棱柱形狀，且保護(hù)罩底面（不計(jì)厚度）正方形邊長不得少于1.1米，高規(guī)定為2米. 當(dāng)博物館需支付的總費(fèi)用不超過8千元時(shí)，求保護(hù)罩底面積的最小值（可能用到的數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留一位小數(shù)）．
     
     
     
    19（本小題滿分16分）
    

    試題詳情
    

    已知函數(shù)
    

    試題詳情
    

       （I）求的極值；
    

    試題詳情
    

       （II）若的取值范圍；
    

    試題詳情
    

       （III）已知
     
     
     
    20（本小題滿分16分）
    

    試題詳情
    

    已知分別以為公差的等差數(shù)列,．
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）若，,且存在正整數(shù),使得,求證:
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,求 的通項(xiàng)公式.
    

    試題詳情
    

        （Ⅲ）對于給定的正整數(shù)m，若求的最大值．
     
     
    連云港市2009屆高三數(shù)學(xué)模擬試題一
    數(shù) 學(xué)（附加題）
    

    試題詳情
    

    21．（選做題）從A，B，C，D四個(gè)中選做2個(gè)，每題10分，共20分．
    A．選修4―1  幾何證明選講
    

    試題詳情
    

    如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF?EC.
    （Ⅰ）求證：ÐP=ÐEDF；
    （Ⅱ）求證：CE?EB=EF?EP．
     
     
     
     
     
    B．選修4―2　矩陣與變換
    

    試題詳情
    

    已知，若所對應(yīng)的變換把直線變換為自身，求實(shí)數(shù)，并求M的逆矩陣．
     
     
     
     
    C．選修4―4　參數(shù)方程與極坐標(biāo)
    

    試題詳情
    

    自極點(diǎn)O作射線與直線相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使得，求點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程．
     
     
     
     
    D．選修4―4　不等式證明
    

    試題詳情
    

           設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，求證：++≥++．
     
     
     
    

    試題詳情
    

    22．必做題（本小題滿分10分）
    如圖，已知三棱錐O－ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)．
      （Ⅰ）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
      （Ⅱ）求二面角A－BE－C的余弦值．
    

    試題詳情
    

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    23．必做題（本小題滿分10分）
    

    試題詳情
    

    隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為．
    （Ⅰ）求的分布列；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即的數(shù)學(xué)期望）；
    

    試題詳情
    

    （Ⅲ）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    一、填空題
    1． ；   2．；   3．；   4．；    5．；
    6．；     
7．；   8．3；    9．．   10．
    11．；   12．；  13．；      14．．
    二、解答題
    15．解：（1）由得：
    ，
    由正弦定理知:  ，
    （2），
    由余弦定理知：
    16．解：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接
    因?yàn)?sub>是正三角形，
    所以
    又是正三棱柱，
    所以面，所以
    所以有面
    因?yàn)?sub>面
    所以；
    （Ⅱ）為的三等分點(diǎn)，．
    連結(jié)，，
    ∵ ，∴ ．
    ∴ ， ∴ 
    又∵面，面
    ∴ 平面
    17．解 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得
    又由知，
    所以
       （Ⅱ） 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上．
    當(dāng)且時(shí)，由，得．
    又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn)．
    在△QF1F2中，，所以有
    綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是 
    （Ⅲ） C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是
    由③得，由④得  所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；
    當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M．
    當(dāng)時(shí)，，
    由，
    ，
    ，得
    18．解：（1）（或）（）
    （2）
    當(dāng)且僅當(dāng)，即V=4立方米時(shí)不等式取得等號
    所以，博物館支付總費(fèi)用的最小值為7500元．
    （3）解法1：由題意得不等式： 
    當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時(shí)，，代入整理得：，解得；
    當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時(shí)，，代入整理得：，解得
    又底面正方形面積最小不得少于，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米 
    解法2. 解方程，即得兩個(gè)根為
    由于函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用超過8000元，所以V取得最小值  
    由于保護(hù)罩的高固定為2米，所以對于相等體積的正四棱錐與正四棱柱，正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的．所以當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱時(shí)，保護(hù)罩底面積最小， m2  
    又底面正方形面積最小不得少于，，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米 
    19．解：（Ⅰ）令得 
    當(dāng)為增函數(shù)；
    當(dāng)為減函數(shù)，
    可知有極大值為 
    （Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，
    設(shè)
    由（Ⅰ）知，，
    （Ⅲ），由上可知在上單調(diào)遞增，
      ①， 
     同理  ②
    兩式相加得
     
    20．解：（1）證明：因?yàn)?sub>
    所以即 
    可化為:
    當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)
    故  
    （2）因?yàn)?sub>
     =
     = 
    又由可知 =
    即 = 
    解之得  
    故得所以
    因此的通項(xiàng)公式為.. 
       （3）解：
    所以
    即S的最大值為
    三、附加題
    21A．（1）∵DE2=EF?EC，∴DE :
CE=EF: ED．
             
∵ÐDEF是公共角，
             
∴ΔDEF∽ΔCED． 
∴ÐEDF=ÐC．
             
∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．
             
∴ÐP=ÐEDF． 
    （2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，
         ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
        
∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP． 
    21B．法一：特殊點(diǎn)法
    在直線上任取兩點(diǎn)（2、1）和（3、3），…………1分
    則?即得點(diǎn)  …………3 分
    即得點(diǎn)
    將和分別代入上得
    則矩陣 …………6 分
    則    
…………10 分
    法二：通法
    設(shè)為直線上任意一點(diǎn)其在M的作用下變?yōu)?sub>…………1分
    則…………3分
    代入得：
    其與完全一樣得
    則矩陣        
…………6分
    則          
…………10分
    21C．法一：將直線方程化為，    ………4分
    ，                      
………6分
    設(shè)動點(diǎn)P，M，則 ，    ………8分
    又 ，得；                       
………10分
    法二：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， 
    將直線方程化為，………………4分
    設(shè)P，M，，………6分
    又MPO三點(diǎn)共線，， …………8分
    轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．   ………10分
    21D．證明：  ∵a、b、c均為實(shí)數(shù)．
    ∴（＋）≥≥，當(dāng)a=b時(shí)等號成立； 
    （＋）≥≥，當(dāng)b=c時(shí)等號成立； 
    （＋）≥≥． 
    三個(gè)不等式相加即得++≥++，
    當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號成立. 
    22．解：（I）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
    則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
     cos<>． 
    由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是． 
    （II），，
    設(shè)平面ABE的法向量為，
    則由，，得
    取n＝（1，2，2），
    平面BEC的一個(gè)法向量為n2＝（0，0，1）， 
    ．
    由于二面角A－BE－C的平面角是n1與n2的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是－．
    23．解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，
    ，
    故的分布列為：
    6
    2
    1
    -2
    0.63
    0.25
    0.1
    0.02
     
    （2）
    （3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為
    依題意，，即，解得 所以三等品率最多為
     
    
				
    
	
    
		
    


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