2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）
數(shù)學(xué)（文史類）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．第I卷至2頁(yè)，第II卷3至10頁(yè)．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
祝各位考生考試順利！
第I卷
注意事項(xiàng)：
1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答在試卷上的無(wú)效．
3．本卷共10小題，每小題5分，共50分．
參考公式：
?如果事件互斥，那么 ?球的表面積公式
球的體積公式
?如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑
一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．函數(shù)的反函數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
4．若等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，且，則（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，則的一個(gè)充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
6．把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
7．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數(shù)則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
9．設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
10．設(shè)，若對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)的取值的集合為（ ）
A． B． C． D．
2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）
數(shù)學(xué)（文史類）
第Ⅱ卷
注意事項(xiàng)：
1．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．
2．用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上．
3．本卷共12小題，共100分．
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填在題中橫線上．
11．一個(gè)單位共有職工200人，其中不超過(guò)45歲的有120人，超過(guò)45歲的有80人．為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25的樣本，應(yīng)抽取超過(guò)45歲的職工 人．
12．的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
13．若一個(gè)球的體積為，則它的表面積為 ．
14．已知平面向量，，若，則 ．
15．已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則圓的方程為 ．
16．有4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有 種（用數(shù)字作答）．
三、解答題：本大題共6小題，共76分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)的最小正周期是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
18．（本小題滿分12分）
甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率．
19．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大��；
（Ⅲ）求二面角的大�。�
20．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列中，，，且．
（Ⅰ）設(shè)，證明是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．
21．（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；
（Ⅲ）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．
22．（本小題滿分14分）
已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍．
2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）
數(shù)學(xué)（文史類）參考解答
一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分50分．
1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B
二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題4分，滿分24分．
11．10 12．10 13． 14．
15． 16．432
（1）設(shè)集合，，，則
（A） （B） （C） （D）
解析：因?yàn)�，所以，選A．
（2）設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為
（A）2 （B）3 （C）4 �。―）5
解析：如圖，由圖象可知目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，，選D．
（3）函數(shù)（）的反函數(shù)是
（A）（） （B）（）
（C）（） （D）（）
解析：當(dāng)時(shí)，，解得，選A．
（4）若等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，且，則
（A）12 �。˙）13 （C）14 （D）15
解析：，所以，選B．
（5）設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，則的一個(gè)充分條件是
（A） �。˙）
（C） （D）
解析：選C，A、B、D的反例如圖．
（6）把函數(shù)（）的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是
（A）， （B），
（C）， （D），
解析：選C,
．
（7）設(shè)橢圓（，）的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為
（A） （B） （C） （D）
解析：拋物線的焦點(diǎn)為，橢圓焦點(diǎn)在軸上，排除A、C，由排除D，選B．
（8）已知函數(shù)，則不等式的解集是
（A） （B） （C） �。―）
解析：依題意得，選A．
（9）設(shè)，，，則
（A） （B） （C） （D）
解析：，因?yàn)�，所以，選D．
（10）設(shè)，若對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)的取值集合為
（A） （B） （C） （D）
解析：易得，在上單調(diào)遞減，所以，故，選B．
（11）一個(gè)單位共有職工200人，其中不超過(guò)45歲的有120人，超過(guò)45歲的有80人．為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25的樣本，應(yīng)抽取超過(guò)45歲的職工________________人．
解析：依題意知抽取超過(guò)45歲的職工為．
（12）的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)是________________（用數(shù)字作答）．
解析：，，所以系數(shù)為10．
（13）若一個(gè)球的體積為，則它的表面積為_(kāi)_______________．
解析：由得，所以．
（14）已知平面向量，．若，則_____________．
解析：因?yàn)椋裕?/p>
（15）已知圓C的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．直線與圓C相交于兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為_(kāi)______________________．
解析：圓心的坐標(biāo)為，所以，圓的方程為．
（16）有4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有________________種（用數(shù)字作答）．
解析：數(shù)字之和為10的情況有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2．
所以共有種不同排法．
三、解答題
17．本小題主要考查特殊角三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力．滿分12分．
（Ⅰ）解：
．
由題設(shè)，函數(shù)的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，．
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，所以函數(shù)的最大值是，此時(shí)的集合為．
18．本小題主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．滿分12分．
（Ⅰ）解法一：設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件，由題意得
，
解得或（舍去），所以乙投球的命中率為．
解法二：設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件，由題意得
，
于是或（舍去），故．
所以乙投球的命中率為．
（Ⅱ）解法一：由題設(shè)和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率為．
解法二：由題設(shè)和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率為．
（Ⅲ）解：由題設(shè)和（Ⅰ）知，，，，．
甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分別為
，
，
．
所以甲、乙兩人各投球2次，共命中2次的概率為
．
19．本小題主要考查直線和平面垂直、異面直線所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間相角能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．滿分12分．
（Ⅰ）證明：在中，由題設(shè)，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．
（Ⅱ）解：由題設(shè)，，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角．
在中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，
故．
所以異面直線與所成的角的大小為．
（Ⅲ）解：過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié)．
因?yàn)槠矫�，平面，所以．又，因而平面，故為在平面�?nèi)的射影．由三垂線定理可知，．從而是二面角的平面角．
由題設(shè)可得，
，，
，，
．
于是在中，．
所以二面角的大小為．
20．本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分12分．
（Ⅰ）證明：由題設(shè)，得
，
即
．
又，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
，
，
……
．
將以上各式相加，得．所以當(dāng)時(shí)，
上式對(duì)顯然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故．
由可得，由得
， ①
整理得，解得或（舍去）．于是
．
另一方面，
，
．
由①可得
．
所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．
21．本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力．滿分14分．
（Ⅰ）解：．
當(dāng)時(shí)，
．
令，解得，，．
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
ㄋ
極小值
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅱ）解：，顯然不是方程的根．
為使僅在處有極值，必須恒成立，即有．
解此不等式，得．這時(shí)，是唯一極值．
因此滿足條件的的取值范圍是．
（Ⅲ）解：由條件可知，從而恒成立．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．
為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)
即
在上恒成立．
所以，因此滿足條件的的取值范圍是．
22．本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．滿分14分．
（Ⅰ）解：設(shè)雙曲線的方程為，由題設(shè)得
解得
所以雙曲線的方程為．
（Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組
將①式代入②式，得，整理得
．
此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是，且
．整理得
． ③
由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足
，．
從而線段的垂直平分線的方程為
．
此直線與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．由題設(shè)可得
．
整理得
，．
將上式代入③式得，
整理得
，．
解得或．
所以的取值范圍是．
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