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    甘
肅 省2009年高三年級(jí)第二次高考診斷
    數(shù) 學(xué) 試 題
     
    考生注意
           本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分為150分，考試時(shí)間120分鐘。
           所有試題均在答題卡上作答，其中，選擇題用2B鉛筆填涂，其余題詠0.5毫米黑色墨水簽字筆作答。
    參考公式：
    如果事件A、B互斥，那么            
P(A+B)=P(A)+P(B)         
              
    如果事件A、B相互獨(dú)立，那么         P(A?B)=P(A)?P(B)                   
    如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率         

    球的表面積公式      其中R表示球的半徑
    球的體積公式         其中R表示球的半徑
     
    第Ⅰ卷 （選擇題， 共60分）
     
    一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一
    1．設(shè)全集U為實(shí)數(shù)集R，集合，則
    

    試題詳情
    

      
                                                                                                 （    ）
    

    試題詳情
    

           A．         B．  C． D．
    

    試題詳情
    

    2．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是                                                                      （    ）
           A．-15                     B．15                      C．-30                     D．30
     
    

    試題詳情
    

    3．（理科）設(shè)隨機(jī)變量的值為
                                                                                                                                  （    ）
    

    試題詳情
    

           A．                   B．                 C．                D．
    

    試題詳情
    

      （文科）若的值是                                           （    ）
    

    試題詳情
    

           A．                   B．                      C．                      D．
    

    試題詳情
    

    4．若實(shí)數(shù)滿足條件，則的取值范圍是                               （    ）
    

    試題詳情
    

           A．               B．                 C．               D．
    

    試題詳情
    

    5．（理科）若函數(shù)，則此函數(shù)圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的傾斜角為（    ）
           A．0                        B．銳角                   C．直角                   D．鈍角
    

    試題詳情
    

      （文科）若函數(shù)，則此函數(shù)圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的傾斜角為
                                                                                                                                  （    ）
           A．0                        B．銳角                   C．直角                   D．鈍角
    

    試題詳情
    

    6．等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且，則數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn取最大值時(shí)n=（    ）
           A．6                        B．5                        C．5或6                 D．6或7
    

    試題詳情
    

    7．在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，O為△ABC的中點(diǎn)，則=                       （    ）
           A．-2                       B．2                        C．1                        D．-4
    

    試題詳情
    

    8．若為銳角，則下列各式中可能成立的是                                                         （    ）
    

    試題詳情
    

           A．                             B．
    

    試題詳情
    

           C．                             D．
    

    試題詳情
    

    9．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，G是底面△ABC的中點(diǎn)，M在線段DG上且使
      
∠AMB=90°。則GM的長(zhǎng)等于                                                                         （    ）
    

    試題詳情
    

           A．                      B．                   C．                   D．
    

    試題詳情
    

    10．已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足MF1⊥MF2的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率
           的取值范圍是                                                                                                  （    ）
    

    試題詳情
    

           A．                B．                C．             D．
    

    試題詳情
    

    11．（理科）來(lái)自中國(guó)、英國(guó)、瑞典的乒乓球裁判員各兩名，執(zhí)行世錦賽的一號(hào)、二號(hào)和三號(hào)場(chǎng)地的乒乓球裁判工作，每個(gè)場(chǎng)地由兩名來(lái)自不同國(guó)家的裁判組成，則不同的安排方案共有                                          （    ）
           A．48種                  B．24種                  C．36種                  D．96種
       （文科）5人排成一行，其中甲、乙不相鄰的排法有                                         （    ）
           A．12種                  B．48種                  C．72種                  D．120種
    

    試題詳情
    

    12．定義在R上的函數(shù)、，其中是奇函數(shù)，且和都有反函數(shù)，
    

    試題詳情
    

           若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，g（3）=1000，則f（-7）=（    ）
           A．1002                   B．-1002                  C．998                     D．-998 
        橫線上。
    

    試題詳情
    

    二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的
    13．設(shè)地球半徑為R，甲、乙兩地在同一條經(jīng)線上，且甲地位于北緯60°，乙地位于赤道上，
           則甲乙兩地的球面距離為             
。
    

    試題詳情
    

    14．定義一種新運(yùn)算“+”為x+y=ax+by，（a、b為常數(shù)）。若1+2=5，2+3=8，那么
           3+4=           
。
    

    試題詳情
    

    15．（理科）4個(gè)相同的白球和3個(gè)相同的黑球，隨機(jī)地排成一行，不同的排法有m種，其
    

    試題詳情
    

           中有且僅有2個(gè)黑球相鄰的排法為n種，則              
。（用數(shù)字作答）
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    20090504
           上標(biāo)以數(shù)2，將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積為0的概率為        。
    

    試題詳情
    

    16．右圖是楊輝三角的一部分，下列關(guān)于楊輝三角
    

    試題詳情
    

           的幾個(gè)判斷（其中）
    

    試題詳情
    

           ①第k行的第r個(gè)數(shù)為；
           ②第k行的所有數(shù)之和是第k-1行所有數(shù)之和的
          2倍；
           ③前k行所有數(shù)之和是2k；
           ④從第k行起，將每行的第r-1個(gè)數(shù)與r個(gè)數(shù)作比，
               把這些比值順次排列，可構(gòu)成等差數(shù)列。
           其中正確結(jié)論的編號(hào)是          
（寫出所有正確的編號(hào)）
    

    試題詳情
    

    三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
    17．（本小題滿分10分）
    

    試題詳情
    

           在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別是a、b、c，已知c邊長(zhǎng)為2，角C為
       （1）求△ABC面積的最大值；
       （2）若sinB=2sinA，求△ABC的周長(zhǎng)。
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    18．某學(xué)校舉行了一次課外文學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，其中一道題是連線題。要求將4名不同的作家與他們所著的4本不同的著作一對(duì)一連線，每連對(duì)一條得3分，連錯(cuò)得-1分，有一位參賽者隨記用4條線把作家與著作一對(duì)一全部連接起來(lái)。
       （1）球該參賽者恰好連對(duì)一條的概率。
    

    試題詳情
    

       （2）（理科做）設(shè)為該參賽者此題的得分，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。
          
（文科做）求該參賽者此題得分為非負(fù)數(shù)的概率。
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    19．（本小題滿分12分）
           如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE=CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)。
       （1）求證DF∥平面ABC；
    

    試題詳情
    

       （2）求AB與平面BDF所成角的大小。
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    20．（本小題滿分12分）
    

    試題詳情
    

           已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列{an}滿足且的等差中
           項(xiàng)。
      
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
    


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          20090504
                  正整數(shù)n的最小值。
          

          試題詳情
          

                 （文科做）若求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn。
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          21．（本小題滿分12分）
          

          試題詳情
          

                 無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，直線與雙曲線恒有公共點(diǎn)。
            
（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍；
          

          試題詳情
          

            
（2）若直線l經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，并滿足，
                  求雙曲線C的方程。
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          22．（本小題滿分12分）
          

          試題詳情
          

             （理科做）已知函數(shù)處取得極值0.
          

          試題詳情
          

             （1）求實(shí)數(shù)的值；
          

          試題詳情
          

             （2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m
                  的取值范圍。
          

          試題詳情
          

             （3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n＞1，不等式都成立。
          

          試題詳情
          

             （文科做）設(shè)x1、x2（x1≠x2）是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)。
          

          試題詳情
          

             （1）若x1=-1，x2=2，求函數(shù)的解析式；
          

          試題詳情
          

             （2）若，求b的最大值。
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

           
          一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分
          題號(hào)
          1
          2
          3
          4
          5
          6
          7
          8
          9
          10
          11
          12
          答案
          D
          B
          理C
          文B
          C
          理D
          文B
          C
          A
          B
          D
          C
          理A
          文C
          B
          二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
          13．                        14．11                     15．（理）（文）16．②④
          三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步
              驟。
          17．本小題滿分10分
                 解：（1）由余弦定理及已知條件得，                                  1分
                 ∵                          3分
                 ∴                                               5分
             （2）由正弦定理及已知條件得，b=2a                                                               7分
                 聯(lián)立方程組                                   9分
                 ∴△ABC的周長(zhǎng)為                                          10分
          18．本小題滿分12分
                 解：（1）記“該參賽者恰好連對(duì)一條線”為事件A。
                 則                                                            （理）4分（文）6分
             （2）（理科）的所有可能取值為-4、0、4、12                                              5分
                 
                                                                                                     9分
                 的分布列為
          -4
          0
          4
          12
          3/8
          1/3
          1/4
          1/24
                 E=                                                       12分
             （文科）該參賽者所有可能得分為-4、0、4、12.                                               7分
                 得0分的概率為                                                                    8分
                 得4分的概率為                                                                     9分
                 得12分的概率為                                                                     10分
                 ∴該參賽者得分為非負(fù)數(shù)的概率為          12分
          19．本小題滿分12分
                 解：（1）取AB的中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G，
                 則FG∥BE，且FG=BE，
                 ∴FG∥CD，且FG=CD，2分
                 ∴四邊形FGCD是平行四邊形，
                 ∴DF∥CG，
                 又∵CF平面ABC，
                 ∴DF∥平面ABC,     6分
            
（2）解法一：設(shè)A到平面BDF的距離為h，
                 由                                                         8分
                 在△BDF中，
                 且CB=2,∴                                                                                            10分
                 設(shè)AB于平面BDF所成的角為，則
                 故AB與平面BDF所成的角為                                                           12分
                 解法二：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA、BC、BE所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角
                 坐標(biāo)系，則
                 B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1）E（0，0，2），
                 F（1，0，1）�！�       8分
                 ∴ =（0，2，1），=（1，-2，0）……………………………………………       8分
                 設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n=（2，a，b），
                 ∵ n⊥，n⊥，∴ 
          即解得 
                 ∴ n=（2，1，-2）……………………………10分
                 又設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則法線n與所成的角為，
                 ∴cos()===,
                 即sin,故AB與平面BDF所成的角為arcsin.…………………………… 12分
          20．本小題滿分12分
                 解：（1）∵-=0,因?yàn)椋?sub>）（）=0，
                 ∵數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴>0，∴=0，
                 即所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列…………………………………3分
                 ∴是的等差中項(xiàng)，∴，∴
                 ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式………………………………………………  6分
             （2）由（1）及log得，，…………………………………   8分
                 ∵…
                 ∴-…-                         
      ①
                 ∴-…-                          ②
                 ②-①得，+…+
                 =………………………  （理）10分（文）12分
                 要使>50成立，只需 >50成立，即>52，n
                 ∴使>50成立的正整數(shù)n的最小值為5。………………………（理）12分
          21．本小題滿分12分
                 解：（1）由得（）………………1分
                 當(dāng)時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，這和直線與雙曲線恒有公共點(diǎn)矛盾，
                 ∴≠2，e≠…………………………………………………………………………2分
                 當(dāng)≠2時(shí)，=恒成立，
                 即恒成立，
                 ∵>0，∴，∴，……………………………………3分
                 ∵
                 ∵（）=2，∴ ∴
                 綜上知………………………………………………………………………6分
             （Ⅱ）設(shè)F（c,0）,則l:y=x-c,將x=y+c代入雙曲線方程，得
                 
                 整理得…………………………………………7分
                 設(shè)兩交點(diǎn)為P（），Q，則
                 ∵=∴……………………………………………………………8分
                 ∴消去得
                 ………………………………………………………………10分
                 ∴>0且∴∴
                 ∴所求雙曲線C的方程為………………………………………………12分
          22．本小題滿分12分
             （理科）解：（1）……………………………………………2分
                 ∵x=0時(shí)，取極值0，∴………………………………………………3分
                 解得a=1,b=0.經(jīng)檢驗(yàn)a=1,b=0符合題意。………………………………………………4分
             （2）由a=1,b=0知由
                 得
                 令則在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)
                 根等價(jià)于在上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根。
              當(dāng)時(shí)，<0，于是在（0，1）上單調(diào)遞減；
                 當(dāng)時(shí)，>0，于是在（1，2）上單調(diào)遞增。……………………7分
                 依題意有<0，∴…………………8分
             （3）的定義域?yàn)?sub>>，
                 由（1）知
          當(dāng)單調(diào)遞減。
                 當(dāng)x＞0時(shí)，＞0，單調(diào)遞增。
                 ∴f（0）為在（-1，+∞）上的最小值，∴≥f（0）
                 又f（0）=0，故（當(dāng)且僅當(dāng)x=0，等號(hào)成立）                     10分
                 對(duì)任意正整數(shù)n，取
                 故
                 =                                                                              12分
             （文科）解：（1）∵       1分
                 依題意有                                       3分
                 解得                                                                                                  4分
                 ∴                                                                             5分
             （2）∵，依題意x1、x2是方程=0的兩個(gè)根，
                 由∴                               7分
                 設(shè)
                 由                                                  9分
                 即函數(shù)在區(qū)間（0，4）上是增函數(shù)，在區(qū)間（4，6）上是減函數(shù)
                 當(dāng)時(shí)，有極大值為96，∴在（0，6）上的最大值是96          10分
                 ∴b的最大值為4                 12分