《新課標(biāo)》必修Ⅰ復(fù)習(xí) 第八講 函數(shù)與方程
一．課標(biāo)要求：
1．結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系；
2．根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。
二．命題走向
1．方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
（1）函數(shù)零點(diǎn)
概念：對(duì)于函數(shù)
，把使
成立的實(shí)數(shù)
叫做函數(shù)的零點(diǎn)。
函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)
的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根
函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。
二次函數(shù)
的零點(diǎn)：
１）△＞０，方程
有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
２）△＝０，方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)；
３）△＜０，方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)。
零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間
上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有
，那么函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有零點(diǎn)。既存在
，使得
，這個(gè)
也就是方程的根。
2.二分法
二分法及步驟：
對(duì)于在區(qū)間
，
上連續(xù)不斷，且滿足
?
的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)
的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
給定精度
，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：
（1）確定區(qū)間，，驗(yàn)證?，給定精度；
（2）求區(qū)間
，
的中點(diǎn)
；
（3）計(jì)算
：
①若=
，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；
②若?<，則令
=（此時(shí)零點(diǎn)
）；
③若?<，則令
=（此時(shí)零點(diǎn)
）；
（4）判斷是否達(dá)到精度；
即若
，則得到零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2～4。
注：函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)
從“數(shù)”的角度看：即是使
的實(shí)數(shù)；
從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
若函數(shù)的圖象在
處與軸相切，則零點(diǎn)
通常稱(chēng)為不變號(hào)零點(diǎn)；
若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點(diǎn)通常稱(chēng)為變號(hào)零點(diǎn)。
注：用二分法求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)：二分法的條件?表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)。
3．二次函數(shù)的基本性質(zhì)
（1）二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。
（2）當(dāng)a>0，f(x)在區(qū)間［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=
(p+q)。
若－
<p，則f(p)=m，f(q)=M；
若p≤－<x0，則f(－)=m，f(q)=M；
若x0≤－<q，則f(p)=M，f(－)=m；
若－≥q，則f(p)=M，f(q)=m。
（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布及條件。
①方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小
a?f(r)<0；
②二次方程f(x)=0的兩根都大于r
③二次方程f(x)=0在區(qū)間(p，q)內(nèi)有兩根
④二次方程f(x)=0在區(qū)間(p，q)內(nèi)只有一根f(p)?f(q)<0，或f(p)=0(檢驗(yàn))或f(q)=0(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另一根若在(p，q)內(nèi)成立。
【課前預(yù)習(xí)】
1. 關(guān)于的方程
有正根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
。
2.【07山東文11】．設(shè)函數(shù)
與
的圖象的交點(diǎn)為
，
則所在的區(qū)間是（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 已知定義域?yàn)?sub>
的函數(shù)
是偶函數(shù)，并且在
上為增函數(shù)。若
，則
的解集是
；
4. 函數(shù)
的對(duì)稱(chēng)軸方程為
，則常數(shù)=
。
題型1：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)
例1．判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn)。
四．典例解析
（1）
（2）
（3）
例2．（1）方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)
（2）設(shè)a為常數(shù)，試討論方程
的實(shí)根的個(gè)數(shù)。
題型2：零點(diǎn)存在性定理
例3．（2004廣東21）設(shè)函數(shù)
，其中常數(shù)
為整數(shù)。
（1）當(dāng)為何值時(shí)，
；
（2）定理：若函數(shù)
在上連續(xù)，且
與
異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)
，使得
試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)
時(shí)，方程在
內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。
例4．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若
，不存在實(shí)數(shù)使得；
B．若，存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得；
C．若，有可能存在實(shí)數(shù)使得；
D．若，有可能不存在實(shí)數(shù)使得；
題型3：二分法的概念
例5．關(guān)于“二分法”求方程的近似解，說(shuō)法正確的是（）
A．“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內(nèi)的所有零點(diǎn)得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內(nèi)的零點(diǎn)；
C．應(yīng)用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]內(nèi)有可能無(wú)零點(diǎn)；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內(nèi)的精確解；
例6．方程在[0，1]內(nèi)的近似解，用“二分法”計(jì)算到
達(dá)到精確度要求。那么所取誤差限
是（ ）
A．0.05 B．
題型4：應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)和方程的近似解
例7．借助計(jì)算器，用二分法求出
在區(qū)間（1，2）內(nèi)的近似解（精確到0.1）。
例8．借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程
的近似解（精確到
）。
題型5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點(diǎn)
例9．（1）已知
是方程
的兩個(gè)根，且
，
求的取值范圍。
（2）已知關(guān)于的方程
的一根分布在區(qū)間（-2，0）內(nèi)，另一根分布在區(qū)間（1，3）內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
例10．已知二次函數(shù)
，設(shè)方程
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和
.
（1）如果
，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，求證：
；
（2）如果
，
，求的取值范圍.
【課外作業(yè)】
1．若函數(shù)
有負(fù)值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
（
）
A.
B.
C.
D.
2．若
都是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且方程
有實(shí)數(shù)解，則
不可能是
（
）
A.
B.
C.
D. 
3．設(shè)函數(shù)
，若
，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為
（
）
A．1
B
4．是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且
，則方程在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是
（
）
A.2
B
5．函數(shù)
在[0，2]上
（
）
A.有三個(gè)零點(diǎn) B.有兩個(gè)零點(diǎn) C.有一個(gè)零點(diǎn) D.沒(méi)有零點(diǎn)
五．思維總結(jié)
1．函數(shù)零點(diǎn)的求法：
①（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；
②（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。
2．解決二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題要善于結(jié)合圖像，從判別式、韋達(dá)定理、對(duì)稱(chēng)軸、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)、二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的所有條件。函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，聯(lián)系的方法就是數(shù)形結(jié)合。
2008年7月
【課前預(yù)習(xí)】
答案: 1、
; 2、B.【試題分析】令
，可求得：
。易知函數(shù)
的零點(diǎn)所在區(qū)間為
。
3、
; 4、-4。
四．典例解析
題型1：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)
例1． 分析：利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理或圖像進(jìn)行判斷。
解析：（1）方法一：
∴
故
。
方法二：
令
解得
，
所以函數(shù)。
（2）∵
，
∴
。
（3）∵
，
，
∴
，故
在
存在零點(diǎn)。
評(píng)析：函數(shù)的零點(diǎn)存在性問(wèn)題常用的辦法有三種：一是定理；二是用方程；三是用圖像
例2． 解析：（1）方法一令
則根據(jù)選擇支可以求得
＜0；
＜0；
＞0.因?yàn)?sub>
＜0可得零點(diǎn)在(2，3)內(nèi)選C
方法二：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)
，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D
至于選B還是選C，由于畫(huà)圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實(shí)際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C
（2）原方程等價(jià)于
即
構(gòu)造函數(shù)
和
，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)情況可得：
①當(dāng)
或
時(shí)，原方程有一解；
②當(dāng)
時(shí)，原方程有兩解；
③當(dāng)
或
時(shí)，原方程無(wú)解。
點(diǎn)評(píng)：圖象法求函數(shù)零點(diǎn)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫。不僅要通過(guò)圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過(guò)比較其大小進(jìn)行判斷
題型2：零點(diǎn)存在性定理
例3．解析：（1）函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續(xù)，且
當(dāng)x∈(－m,1－m)時(shí),f ’（x）<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1－m)
當(dāng)x∈(1－m, +∞)時(shí),f ’（x）>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1－m)
根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且
對(duì)x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m
故當(dāng)整數(shù)m≤1時(shí)，f(x) ≥1－m≥0
(2)證明：由（I）知，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，f(1－m)=1-m<0,
函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),在
上為連續(xù)減函數(shù).
由所給定理知，存在唯一的
而當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，
類(lèi)似地，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在
上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與
異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的
故當(dāng)m>1時(shí)，方程f(x)=0在
內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。
點(diǎn)評(píng)：本題以信息給予的形式考察零點(diǎn)的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。
例4． 解析：由零點(diǎn)存在性定理可知選項(xiàng)D不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，可通過(guò)反例“
在區(qū)間
上滿足
，但其存在三個(gè)解
”推翻；同時(shí)選項(xiàng)A可通過(guò)反例“
在區(qū)間上滿足
，但其存在兩個(gè)解
”；選項(xiàng)D正確，見(jiàn)實(shí)例“
在區(qū)間上滿足，但其不存在實(shí)數(shù)解”。
點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題詳細(xì)介紹了零點(diǎn)存在性定理的理論基礎(chǔ)。
題型3：二分法的概念
例5． 解析：如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè)，且在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)及以上的實(shí)根，二分法只可能求出其中的一個(gè)，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解，二分法的實(shí)施滿足零點(diǎn)存在性定理，在區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn)，甚至有可能得到函數(shù)的精確零點(diǎn)。
點(diǎn)評(píng)：該題深入解析了二分法的思想方法。
例6．解析：由四舍五入的原則知道，當(dāng)
時(shí)，精度達(dá)到
。此時(shí)差限
是0.0005，選項(xiàng)為C。
點(diǎn)評(píng)：該題考察了差限的定義，以及它對(duì)精度的影響。
題型4：應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)和方程的近似解
例7． 解析：原方程即
。令
，
用計(jì)算器做出如下對(duì)應(yīng)值表
x
－2
－1
0
1
2
f(x)
2.5820
3.0530
27918
1.0794
－4.6974
觀察上表，可知零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)
取區(qū)間中點(diǎn)
=1.5，且
，從而，可知零點(diǎn)在（1，1.5）內(nèi)；
再取區(qū)間中點(diǎn)
=1.25，且
，從而，可知零點(diǎn)在（1.25，1.5）內(nèi)；
同理取區(qū)間中點(diǎn)
=1.375，且
，從而，可知零點(diǎn)在（1.25，1.375）內(nèi)；
由于區(qū)間（1.25，1.375）內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結(jié)果是1.3。
點(diǎn)評(píng)：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過(guò)程，通過(guò)本題學(xué)會(huì)借助精度終止二分法的過(guò)程。
例8． 分析：本例除借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個(gè)數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個(gè)數(shù)？
略解：圖象在閉區(qū)間
，
上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)
，在
，
上至多有一個(gè)零點(diǎn)。
點(diǎn)評(píng)：①第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長(zhǎng)度，通�？纱_定一個(gè)長(zhǎng)度為1的區(qū)間；
②建議列表樣式如下：
零點(diǎn)所在區(qū)間
中點(diǎn)函數(shù)值
區(qū)間長(zhǎng)度
[1，2]
>0
1
[1，1.5]
<0
0.5
[1.25，1.5]
<0
0.25
如此列表的優(yōu)勢(shì)：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長(zhǎng)度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步。
題型5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點(diǎn)
例9． 分析：從二次方程的根分布看二次函數(shù)圖像特征，再根據(jù)圖像特征列出對(duì)應(yīng)的不等式（組）。
解析：（1）設(shè)
，
由
，知
∴
，
∴
（2）令
∴
，
且
，∴
，∴
，
綜上，。
評(píng)析：二次方程、二次函數(shù)、二次不等式三者密不可分。
例10．解析：設(shè)
，則
的二根為和。
（1）由
及
，可得 
，即
，
即
兩式相加得
，所以，
；
（2）由
, 可得 
。
又
，所以
同號(hào)。
∴ 
，
等價(jià)于
或
,
即 
或
解之得 
或
。
點(diǎn)評(píng)：條件實(shí)際上給出了
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化。
【課外作業(yè)】
1． 答案:A，令
即可；
2． 答案:B;
3．答案:C，由
可得
關(guān)于
對(duì)稱(chēng)，∴
,∴
∴
，∴
，∵，∴
。
4、 答案:D, ∵
,∴
∴
, ∴
5． 答案:C，先求出
，根據(jù)單調(diào)性求解；
五．思維總結(jié)
1．函數(shù)零點(diǎn)的求法：
①（代數(shù)法）求方程
的實(shí)數(shù)根；
②（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)
的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。
2．解決二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題要善于結(jié)合圖像，從判別式、韋達(dá)定理、對(duì)稱(chēng)軸、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)、二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的所有條件。函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，聯(lián)系的方法就是數(shù)形結(jié)合。
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