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    題目列表(包括答案和解析)

    1、集合A={-1,0,1},B={-2,-1,0},則A∪B=
    {-2,-1,0,1}

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    2、命題“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是
    對任意x∈R,都有x2+2x+5≠0

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    3、在等差數(shù)列{an}中,a2+a5=19,S5=40,則a10
    29

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    5、函數(shù)y=a2-x+1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為
    (2,2)

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        例10  為促進(jìn)個(gè)人住房商品化的進(jìn)程,我國1999年元月公布了個(gè)人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下:

     

    貸款期(年數(shù))

    公積金貸款月利率(‰)

    商業(yè)性貸款月利率(‰)

    ……

    11

    12

    13

    14

    15

    ……

    ……

    4.365

    4.455

    4.545

    4.635

    4.725

    ……

    ……

    5.025

    5.025

    5.025

    5.025

    5.025

    ……


        汪先生家要購買一套商品房,計(jì)劃貸款25萬元,其中公積金貸款10萬元,分十二年還清;商業(yè)貸款15萬元,分十五年還清.每種貸款分別按月等額還款,問:
        (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元?
        (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款,如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清;那么他家在這個(gè)月的還款總數(shù)是多少?
        (參考數(shù)據(jù):1.004455144=1.8966,1.005025144=2.0581,1.005025180=2.4651)


       講解  設(shè)月利率為r,每月還款數(shù)為a元,總貸款數(shù)為A元,還款期限為n月
      第1月末欠款數(shù) A(1+r)-a
      第2月末欠款數(shù) [A(1+r)-a](1+r)-a= A(1+r)2-a (1+r)-a
        第3月末欠款數(shù) [A(1+r)2-a (1+r)-a](1+r)-a
              。紸(1+r)3-a (1+r)2-a(1+r)-a
      ……
      第n月末欠款數(shù) 
        得:                                  

      對于12年期的10萬元貸款,n=144,r=4.455‰
      ∴
      對于15年期的15萬元貸款,n=180,r=5.025‰
      ∴
      由此可知,先生家前12年每月還款942.37+1268.22=2210.59元,后3年每月還款1268.22元.
      (2)至12年末,先生家按計(jì)劃還款以后還欠商業(yè)貸款
       
      其中A=150000,a=1268.22,r=5.025‰  ∴X=41669.53
        再加上當(dāng)月的計(jì)劃還款數(shù)2210.59元,當(dāng)月共還款43880.12元.   

        需要提及的是,本題的計(jì)算如果不許用計(jì)算器,就要用到二項(xiàng)展開式進(jìn)行估算,這在2002年全國高考第(12)題中得到考查.

        例11  醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防,將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),經(jīng)檢測,病毒細(xì)胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候小白鼠將死亡.但注射某種藥物,將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%.

    (1)為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡,第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物?(精確到天)

    (2)第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物,才能維持小白鼠的生命?(精確到天)

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              • 天數(shù)t

                病毒細(xì)胞總數(shù)N

                1

                2

                3

                4

                5

                6

                7

                1

                2

                4

                8

                16

                32

                64

                 

                 

                 

                 

                 

                 

                 

                 

                講解 (1)由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由

                兩邊取對數(shù)得    n27.5,

                   即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.

                (2)由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,

                再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,

                由題意≤108,兩邊取對數(shù)得

                ,

                     故再經(jīng)過6天必須注射藥物,即第二次應(yīng)在第33天注射藥物.

                    本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”,這對實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.

                     例12 有一個(gè)受到污染的湖泊,其湖水的容積為V立方米,每天流出湖泊的水量都是r立方米,現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡,且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合,用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù),我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù),已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水,湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +[g(0)- ]?e(p≥0),其中,g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).

                (1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí),求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù); 

                (2)求證:當(dāng)g(0)< 時(shí),湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重; 

                (3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%?

                 講解(1)∵g(t)為常數(shù),  有g(shù)(0)-=0, ∴g(0)=   .                      

                (2) 我們易證得0<t1<t2, 則

                g(t1)-g(t2)=[g(0)- ]e-[g(0)- ]e=[g(0)- ][e-e]=[g(0)- ,

                ∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,

                ∴g(t1)<g(t2)    .                                                      

                故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加,污染越來越嚴(yán)重.                

                (3)污染停止即P=0,g(t)=g(0)?e,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?

                =e,∴t= ln20,

                故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.

                高考應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問題關(guān)注當(dāng)前國內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時(shí)代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.