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    2009年天津市河東區(qū)高三年級能力測試題

    數(shù)學理

    本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分。考試用時120分鐘?荚嚱Y束后,將本試卷和答題卡一并交回。

    第Ⅰ卷(共50分)

    注意事項:

    1.        答第Ⅰ卷前,考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將姓名、座號、準考證號填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置,并認真核準條形碼上的姓名、座號和準考證號。

    2.        第Ⅰ卷共2頁。答題時,考生須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。在試卷上作答無效。

    參考公式:

    球的體積公式: ,其中是球的半徑.

    椎體的體積公式: ,其中S是椎體的底面積,h是椎體的高。

     

    一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

    1.      化簡復數(shù)

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    A.    B.   C.   D.

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    2.      已知集合,則有

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    A.   B.    C.  D.

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    3.      已知命題P:任意,則

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    A. 任意   B. 存在

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    C. 存在   D. 存在、

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    4.      如圖所示給出的是計算的值的一個程序框圖,其中判斷框內填入的條件是

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    A.     B.     C.     D.

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    5.      設函數(shù),若,則關于的方程的解的個數(shù)為

    A. 4        B.2         C.1        D.3

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    6.      函數(shù)的最小值是

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    A.            B.             C.              D.

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    7.      設,則的大小關系是

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    A.      B.      C.         D.

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    8.      在中,兩點分別在上。使。將沿折成直二面角,則二面角的余弦值為

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    A.        B.        C.            D.

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    9.      某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖如圖所示,則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是

    A. 63        B.64         C.65         D.66

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    10.  曲線為參數(shù))上各點到直線的最大距離是

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    A.     B.      C.     D.

     

    第Ⅱ卷(共100分)

    注意事項:

    試題詳情

    第Ⅱ卷共2頁?忌仨毷褂0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上個題目的指定答題區(qū)域內作答,填空題請直接寫答案,解答題應寫出文字、證明過程或演算步驟。在試卷上作答無效。

     

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    二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共24分。

    11.  電動自行車的耗電量與速度這間的關系為,為使耗電量最小,則其速度應定為     

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    12.  極坐標系下,曲線與曲線的公共點個數(shù)是     

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    13.  在正三棱柱,若,則到平面的距離     

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    14.  如圖,已知是半圓的直徑,延長線上一點,切半圓于點,,若,則     ;      

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    15.  設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),若當時,,則滿足的取值范圍是     

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    16.  已知點的坐標滿足條件點為,那么的取值范圍為     

     

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    三、解答題:解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

    17.  (本小題滿分12分)

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    設向量,函數(shù)

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    (1)      求函數(shù)的最小正周期;

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    (2)      當時,求函數(shù)的值域;

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    (3)      求使不等式成立的的取值范圍。

     

     

     

     

     

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    18.  (本小題滿分12分)

    某公園有甲、乙兩個相鄰景點,原擬定甲景點內有2個A班同學和2個B班同學;乙景點內有2個A班同學和3個B班同學,后由于某種原因,甲、乙兩景點各有一個同學交換景點觀光。

    (1)      求甲景點恰有2個A班同學的概率;

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    (2)      求甲景點A班同學數(shù)的分布列及數(shù)學期望。

     

     

     

     

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    19.  (本小題滿分12分)

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    設函數(shù)

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    (1)      求的最小值

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    (2)      若時恒成立,求實數(shù)的取值范圍。

     

     

     

     

     

     

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    20.  (本小題滿分12分)

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    在四棱錐中,底面是一直角梯形,,底面,與底面成角。

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    (1)若,為垂足,求證:

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    (2)求異面直線所成的角的余弦值;

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    (3)求A點到平面的距離。

     

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    21.  (本小題滿分14分)

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    在等比數(shù)列中,前項和為,若成等差數(shù)列,則成等差數(shù)列。

    (1)寫出這個命題的逆命題;

    (2)判斷逆命題是否為真?并給出證明。

     

     

     

     

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    22. (本小題滿分14分)

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    如圖,已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點,平行于的直線軸上的截距為,交橢圓于兩個不同點

    (1)求橢圓的方程;

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    (2)求的取值范圍;

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    (3)求證直線軸始終圍成一個等腰三角形。

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    一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,

    1―5BADAD 6―10CBCAA

     

    二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共24分。

    17.       解:(1)

    所以

    (2)當時,

    所以,即。

    (3)所以

    所以

    所以

     

    18.      解:(1)甲、乙兩景點各有一個同學交換景點后,甲景點恰有2個A班同學有兩種情況

    ①     互換的是A班同學,此時甲景點恰有2個A班的同學的事件記為.

    ②     ②互換的是B班同學,此時甲景點恰有2個A班的同學的事件記為..

    所以甲景點恰有2個A班的同學的概率.

    (2) 甲景點內A班的同學數(shù)為,

    ,,

    所以

     

     

    19.  解:(1)

    時,取得最小值

    (2)令

    ,得(舍去)

    (0,1)

    1

    (1,2)

    0

    極大值

     

    內有最大值

    時恒成立等價于恒成立。

     

    20.  (1)證明:以A為原點,AB,AD,AP所在直線為坐標軸建立直角坐標系(如圖)

       

    所以

    ,

    (2)解:與底面成角,

    過E作,垂足為F,則,

    ,于是

    所成角的余弦值為。

    (3)設平面,則

    A點到平面PCD的距離設為,則

    即A點到平面PCD的距離設為

     

    21.        解:(1)在等比數(shù)列中,前項和為,若成等差數(shù)列,則成等差數(shù)列。

    (2)數(shù)列的首項為,公比為。由題意知:

    時,有

    顯然:。此時逆命題為假。

    時,有

    ,此時逆命題為真。

     

    22.        解:(1)設橢圓方程為

    解得所以橢圓方程

    (2)因為直線平行于OM,且在軸上的截距為

    ,所以的方程為:

    因為直線與橢圓交于兩個不同點,

    所以的取值范圍是

    (3)設直線的斜率分別為,只要證明即可

    ,則

    可得

    故直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形。

     

     

     

     


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