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    試卷類(lèi)型：A
    2009年廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）
    數(shù)  學(xué)（理科） 
                                                                      
2009.４
    本試卷共4頁(yè)，21小題， 滿(mǎn)分150分。
考試用時(shí)120分鐘。
    注意事項(xiàng)： 
    1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào)，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校，以及自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。
    2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
    3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。
    4．作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題（或題組號(hào)）對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效。
    5．考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。
    參考公式：錐體的體積公式，
其中是錐體的底面積，
是錐體的高．
    球的表面積公式，其中為球的半徑．
    如果事件、互斥，那么．
    如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率．
    一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．                                               

    1．如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為
    A．0                B．2                C．0或3              D．2或3
    

    試題詳情
    

    2．已知函數(shù) 則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
    A．1                B．2               
 C．3                 
D．4
    

    試題詳情
    

    3．已知全集，集合≤，，則
    

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    A．                     B．   
    

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    C．                     D． 
    

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    4．命題“，”的否定是
    

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    A．，≥0            B．，
    

    試題詳情
    

    C．，≥0                D．，
    

    試題詳情
    

    5．已知點(diǎn)，直線：，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡方程為
    

    試題詳情
    

    A．           
B．        C．     
  D．
    

    試題詳情
    

    6．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖像大致是
    

    試題詳情
    

    image description
     
     
            
A.                 
B.                  
C.                 
D.
    

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    7．現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖1所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有
    A．24種                B．30種     C．36種        
D．48種
    

    試題詳情
    

    8．設(shè)直線與球有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，從直線出發(fā)的兩個(gè)半平面、截球的兩個(gè)截面圓的半徑分別為和，二面角的平面角為，則球的表面積為
    

    試題詳情
    

    A．                 B．       C．         D．
    （一）必做題（9～12題）
    

    試題詳情
    

    二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分．
    9．在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的是以為斜邊的等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)的值為        ．
    

    試題詳情
    

    10．在某項(xiàng)才藝競(jìng)賽中，有9位評(píng)委，主辦單位規(guī)定計(jì)算參賽者比賽成績(jī)的規(guī)則如下：剔除評(píng)委中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，再計(jì)算其他7位評(píng)委的平均分作為此參賽者的比賽成績(jī)．現(xiàn)有一位參賽者所獲9位評(píng)委一個(gè)最高分為86分、一個(gè)最低分為45分，若未剔除最高分與最低分時(shí)9位評(píng)委的平均分為76分，則這位參賽者的比賽成績(jī)?yōu)?u>     分．
    

    試題詳情
    

    12．在平面內(nèi)有≥條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，若這條直線把平面分成個(gè)平面區(qū)域，則的值是        
，的表達(dá)式是        ．
     
    

    試題詳情
    

    （二）選做題（13～15題，考生只能從中選做兩題）                          

    

    試題詳情
    

    13．（幾何證明選講選做題）如圖3所示，在四邊形中，，  
    

    試題詳情
    

    ，則的值為         
．
    

    試題詳情
    

    14．（不等式選講選做題） 函數(shù)的最小值為   　　．
    

    試題詳情
    

    15．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直線被圓（為參數(shù)）所截得的弦長(zhǎng)為            
． 
     
    

    試題詳情
    

    三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．
    16．（本小題滿(mǎn)分12分）
    

    試題詳情
    

    已知向量，，設(shè)函數(shù)．
    

    試題詳情
    

    （1）求函數(shù)的值域；
    

    試題詳情
    

    （2） 已知銳角的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，若，，求 的值．
     
    

    試題詳情
    

    17．（本小題滿(mǎn)分12分）
    

    試題詳情
    

    在長(zhǎng)方體中，，過(guò)、、三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖4所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為．
    

    試題詳情
    

    （1）求棱的長(zhǎng)；
    

    試題詳情
    

    （2）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與垂直，
    

    試題詳情
    

    如果存在，求線段的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    18．（本小題滿(mǎn)分14分）
    

    試題詳情
    

    已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，試判斷，，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    19．（本小題滿(mǎn)分14分）
    

    試題詳情
    

    一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和個(gè)紅球（≥2且），每次從袋中摸出兩個(gè)球（每次摸球后把這兩個(gè)球放回袋中），若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)．
    

    試題詳情
    

        （1）試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎(jiǎng)的概率；
    

    試題詳情
    

        （2）若，求三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率；
    

    試題詳情
    

    （3）記三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    20．（本小題滿(mǎn)分14分）
    

    試題詳情
    

    已知函數(shù)，，其中．
    

    試題詳情
    

    （1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
    

    試題詳情
    

    （2）若對(duì)任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    21．（本小題滿(mǎn)分14分）
    

    試題詳情
    

    已知雙曲線：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，在雙曲線上有一點(diǎn)，使，且的面積為．
    

    試題詳情
    

    （1）求雙曲線的方程；
    

    試題詳情
    

    （2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點(diǎn)、，在線段 上取異于、的點(diǎn)，滿(mǎn)足．證明：點(diǎn)總在某定直線上．
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）
    

    試題詳情
    

     
    說(shuō)明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．
          2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．
          3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．
    4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．
     
    一、選擇題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分．
    題號(hào)
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    A
    C
    B
    C
    B
    A
    D
    D
     
    二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計(jì)算前二題得分．第12題第1個(gè)空3分，第2個(gè)空2分.
    9．2         
10．79        
11．0 或 2       12．16，
    13．1        
14．3         
15．6
    三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．
    16．（本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）
    解：（1）
              
      ．                

    ∵，
    ∴函數(shù)的值域?yàn)?sub>．                                      
    （2）∵，，∴，．
    ∵都為銳角，∴，． 
    ∴                    

                      

               
．

    ∴的值為．                                      

     
    17．（本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等基本知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）
    解：（1）設(shè),∵幾何體的體積為，
    ∴，                      

    即，
    即，解得．
    ∴的長(zhǎng)為4．                                           

    （2）在線段上存在點(diǎn)，使直線與垂直．     

    以下給出兩種證明方法：
    方法1：過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作  
    交于點(diǎn)．
    ∵，，，
    ∴平面．
    ∵平面，∴．
    ∵，∴平面．
    ∵平面，∴．      

    在矩形中，∵∽，
    ∴，即，∴．
    ∵∽，∴，即，∴．
    在中，∵，∴．
    由余弦定理，得
    ．
    ∴在線段上存在點(diǎn),使直線與垂直，且線段的長(zhǎng)為． 
    方法2：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由已知條件與（1）可知，，，，   
    假設(shè)在線段上存在點(diǎn)≤≤2，，0≤≤
    使直線與垂直，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．
      
    由∽，得，
    ∴．
    ∴． 
    ∴，．
    ∵，∴，
    即，∴．        
    此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在線段上．
    ∵，∴．
    ∴在線段上存在點(diǎn)，使直線與垂直，且線段的長(zhǎng)為． 
    18．（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）
    解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為， 
    若，，成等差數(shù)列， 
    則．
    ∴．
    ∵，，∴．
    解得或．             

    當(dāng)時(shí)，∵，，，         

    ∴．
    ∴當(dāng)時(shí)，，，不成等差數(shù)列． 
    當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列．下面給出兩種證明方法．
    證法1：∵
                              
 
                              
 ，
    ∴．
    ∴當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列． 
    證法2：∵，          

    又
                 
，  
    ∴．
    ∴當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列．  
    19．（本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）
    解：（1）∵一次摸球從個(gè)球中任選兩個(gè)，有種選法，                         
    任何一個(gè)球被選出都是等可能的，其中兩球顏色相同有種選法， 
    ∴一次摸球中獎(jiǎng)的概率．             

    （2）若，則一次摸球中獎(jiǎng)的概率，                  

    三次摸球是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率是
    ．                                    

    （3）設(shè)一次摸球中獎(jiǎng)的概率為，則三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為，， 
    ∵，
    ∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．               
    ∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．
    ∵≥，
    解得．
    故當(dāng)時(shí)，三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大．                 

     
    20．（本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）
    （1）解法1：∵，其定義域?yàn)?sub>，   
    ∴．                

    ∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即．                                         

    ∵，∴．                     
                         
    經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，
    ∴．　                                            

    解法2：∵，其定義域?yàn)?sub>，
    ∴．               

    令，即，整理，得．
    ∵，
    ∴的兩個(gè)實(shí)根（舍去），，
    當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
    ―
    0
    ＋
    極小值
    依題意，，即，
    ∵，∴．                           

    （2）解：對(duì)任意的都有≥成立等價(jià)于對(duì)任意的都有≥．                       

    當(dāng)［1，］時(shí)，
		
    

    

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