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《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》
一、選擇題
1．【嘉興市?理】8．（文科7）己知函數(shù)
，其導(dǎo)數(shù)f'(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的極小值是 ( ▲D )
A．a(chǎn)+b+c B．
2．【寧波市?理】
8．函數(shù)
的定義域為（a,b），其導(dǎo)函數(shù)
內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)極小值點的個數(shù)是 A
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
3．【溫州十校聯(lián)合?理】
4、如圖所示的曲線是函數(shù)
的大致圖象，則
等于（ C ）
A．
B．
C． 
D．
二、填空題
1．【嘉興市?理】14．設(shè)函數(shù)
(a≠0)，若
，x0>0，則x0=
▲
．
2．【溫州中學(xué)?理】14．已知函數(shù)
，對任意的
恒成立，則
的取值范圍為_____（-2，
）______．
三、計算題
1．【杭州市?文】(19)（本題14分）設(shè)是定義在
上的奇函數(shù)，且當(dāng)
時，
．
(Ⅰ) 求
時，的表達(dá)式；
(Ⅱ) 令
，問是否存在
，使得
在x = x0處的切線互相平行？若存在，請求出值；若不存在，請說明理由．
【解】(Ⅰ) 當(dāng)時，
，
;
--- 6分
(Ⅱ)若在處的切線互相平行，則
,
--- 4分
，解得, 
∵x > 0 , 得．
--- 4分
2．【杭州市?文】(22) (本題15分）已知
函數(shù)
．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求f（x）的零點；
（Ⅱ）求函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間 [ 1,2 ] 上的最小值．
【解】(Ⅰ) 由題意
,
由
，解得
或
;
--- 4分
(Ⅱ) 設(shè)此最小值為
，而
（1）當(dāng)
時，
則是區(qū)間[1,2]上的增函數(shù), 所以
;
--- 3分
（2）當(dāng)
時，
在
時，
在
時，
--- 3分
① 當(dāng)
，即
時，
;
② 當(dāng)
，即
時，
③ 當(dāng)
時，.
綜上所述，所求函數(shù)的最小值
.
--- 5分
3．【嘉興市?理】20．(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
(a∈R)
（Ⅰ）若函數(shù)f(x)的圖象在x=2處的切線方程為
，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在(1，+∞)為增函數(shù)，求a的取值范圍．
【解】 (1)因為：f'(x)=x-
(x>0)，又f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b
所以
2分
解得：a=2， 4分
b=
(2)若函數(shù)f(x)在(1，+∞)上恒成立．則f'(x)=x-≥0在(1，+∞)上恒成立
即：a≤x2在(1，+∞)上恒成立。所以有a≤l 14分
4．【寧波市?理】22．（本題14分）已知函數(shù)
和點
，過點
作曲線
的兩條切線
、
，切點分別為
、
．
（1）求證：
為關(guān)于
的方程
的兩根；
（2）設(shè)
，求函數(shù)
的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若在區(qū)間
內(nèi)總存在
個實數(shù)
（可以相同），使得不等式
成立，求的最大值．
【解】（1）由題意可知：
∵ 
， ……2分
∴切線的方程為：
，
又
切線過點
， 
有
，
即
，
①
同理，由切線也過點，得
．②
由①、②，可得是方程
（ * ）的兩根……5分
（2）由（
* ）知. 
，
∴ 
．……………………9分
（3）易知在區(qū)間
上為增函數(shù)，
，
則
．…11分
即
，即
，
所以
，由于為正整數(shù)，所以
.
又當(dāng)
時，存在
，
滿足條件，所以的最大值為
.
……………14分
5．【寧波市?文】20．（本題滿分14分）已知函數(shù)
，
，設(shè)
.
(Ⅰ)當(dāng)
時，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ)若以函數(shù)
圖象上任意一點
為切點的切線斜率
恒成立，求實數(shù)
的最小值.
【解】 (Ⅰ)由已知可得
，函數(shù)的定義域為
則
由
可得在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
得在
上單調(diào)遞減
……6分
(Ⅱ)由題意可知
對任意
恒成立
即有
對任意恒成立，即
令
則
，即實數(shù)的最小值為
； ……14分
6．【嘉興市】21、已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù)
的對稱性和奇偶性；（2）當(dāng)
時，求使
成立的的集合；（3）若
，記
，且
在
有最大值，求的取值范圍.
【解】（1）由函數(shù)
可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線
對稱；
當(dāng)
時，函數(shù)
是一個偶函數(shù)；當(dāng)
時，取特值：
，故函數(shù)
是非奇非偶函數(shù).
（2）由題意得
，得
或
；因此得或
或
，故所求的集合為
.
（3）對于，
若
，在區(qū)間
上遞增，無最大值；
若
，
有最大值1
若
，在區(qū)間
上遞增，在
上遞減，有最大值
；
綜上所述得，當(dāng)
時，有最大值.
7．【臺州市?理】22. （本題滿分14分）已知= 
,數(shù)列
滿足:
（1）求在
上的最大值和最小值;
（2）證明：
;
（3）判斷
與
的大小，并說明理由.
【解】 (1) 
當(dāng)
時，
在
上是增函數(shù) ………………6分
（2）（數(shù)學(xué)歸納法證明）
①當(dāng)
時，由已知成立；
②假設(shè)當(dāng)
時命題成立，即
成立，
那么當(dāng)
時，由①得
，這就是說
時命題成立.
由①、②知，命題對于
都成立 …………9分
（3） 由
記
得
……10分
當(dāng)
時，
故
所以 
<0 得g(x)在
是減函數(shù)，
∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0 ∴
>0,即
>0
得
>
8．【臺州市?文】22．（本小題滿分15分）已知定義在
上的函數(shù)
，其中為常數(shù).
（1）若
，求證：函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)
，在處取得最大值，求正數(shù)的取值范圍.
【解】（1）當(dāng)時，
在區(qū)間上是增函數(shù)，
當(dāng)時，
，
，
函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
綜上得，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).
………………7分
(2)
令
………………10分
設(shè)方程（*）的兩個根為
（*）式得
，不妨設(shè)
.
當(dāng)
時，
為極小值，所以
在[0，1]上的最大值只能為
或
；
………………10分
當(dāng)
時，由于在[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，
所以在[0，1]上的最大值只能為或，
………………12分
又已知在處取得最大值，所以
即
. ………………15分
9．【溫州十校聯(lián)合?理】22、（本小題滿分14分） 已知函數(shù)
上是增函數(shù).
（I）求實數(shù)a的取值范圍；
（II）在（I）的結(jié)論下，設(shè)
，求函數(shù)的最小值．
【解】（I）
…………………………………………… 2分
所以
……………………………………………………………………7分
（II）設(shè)
……8分
10．【溫州十校聯(lián)合?文】21．（15分）設(shè)函數(shù)
為奇函數(shù)，其圖象在點
處的切線與直線
垂直，且在x＝－1處取得極值．
(Ⅰ)求a，
，
的值；
（Ⅱ）求函數(shù)在
上的最大值和最小值。
【解】
11．【溫州中學(xué)?理】22．（本題14分）已知函數(shù)
（其中
為常數(shù)，
為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）任取兩個不等的正數(shù)
，
恒成立，求：的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)
時，求證：
沒有實數(shù)解．
12．【溫州中學(xué)?文】20．（本小題滿分14分）已知
，直線
與函數(shù)
的圖象都相切于點
（1）求直線的方程及的解析式；
（2）若
（其中
是
的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)
的值域.
【解】（1）直線是函數(shù)
在點處的切線，故其斜率
，
所以直線的方程為
(2分)
又因為直線與的圖象相切，所以
在點的導(dǎo)函數(shù)值為1. 
所以
（6分）
（2）因為
（7分）
所以
（9分）
當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
（11分）
因此，當(dāng)
時，取得最大值
（13分）
所以函數(shù)的值域是
.
（14分）
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