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    湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)第六次月考數(shù)學(xué)問卷

    一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的

    1.已知向量a、b的夾角為60°且|a|=2,|b|=3,則a2+a?b=                (  A  )

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           A. 7                      B.                  C.10                      D.49

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    2.下列命題中,m,n表示兩條不同的直線,、表示三個(gè)不同的平面.

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    ①若②若,則;③若,則;④若.正確的命題是( C   )

           A.①③               B.②③               C.①④               D.②④

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    3.已知映射f:A→B,其中A=B=R,對(duì)應(yīng)法則f:x→y=x2-2x+2.若對(duì)實(shí)數(shù)k∈B,在集合A中不存在原象,則k的取值范圍是                                             (  B )

    A.k≤1         B.k<1            C.k≥1            D.k>1

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    4.函數(shù)f(x)=sin2x+在區(qū)間上的最大值是             (  C  )

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    A.1                       B.                     C.                  D.1+              

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    5.如圖S為正三角形ABC所在平面外一點(diǎn),且SASBSCAB,EF分別為SC、AB中點(diǎn),則異面直線EFSA所成角為(C)

         A.90º                     B.60º       C.45º        D.30º

     

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    6.某外商計(jì)劃在5個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè),則該外商不同的投資方案有(  D )

           A.60種                  B.70種                  C.80種                  D.120種

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    7.已知某正項(xiàng)等差數(shù)列,若存在常數(shù),使得對(duì)一切成立,則的集合是   ( B )

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      A.            B.           C.              D.

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    8.已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1).一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)后,依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)(入射角等于反射角).設(shè)的坐標(biāo)為則tanθ的取值范圍是 ( C )

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    9.已知,當(dāng)時(shí)均有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是C

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      A.    B.     C.     D.

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    10.設(shè)、、是半徑為的球面上的四點(diǎn),且滿足,,,則的最大值是              ( B   )

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           A.               B.             C.            D.

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    二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分。把答案填在對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上。

    11.二項(xiàng)式的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為第    7      項(xiàng)。

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    12某氣象臺(tái)預(yù)報(bào)每天天氣的準(zhǔn)確率為0.8,則在未來3天中,至少有2天預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是為              。0.896

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    13.已知是拋物線的焦點(diǎn),過且斜率為的直線交兩點(diǎn).設(shè),則的比值等于        .3

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    14.已知變量滿足條件,若目標(biāo)函數(shù) (其中),僅在(4,2)處取得最大值,則的取值范圍是  _     a>1

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    15.設(shè)定義域?yàn)閇x1,x2]的函數(shù)y=f(x)的圖象為C,圖象的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn),向量=(x1,y1),=(x2,y2),=(x,y),滿足x=λx1+(1-λ)x2(0<λ<1),又有向量=λ+(1-λ),現(xiàn)定義“函數(shù)y=f(x)在[x1,x2]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指||≤k恒成立,其中k>0,k為常數(shù)。根據(jù)上面的表述,給出下列結(jié)論:①A、B、N三點(diǎn)共線;②直線MN的方向向量可以為=(0,1);③“函數(shù)y=5x2在[0,1]上可在標(biāo)準(zhǔn)下線性近似”.④“函數(shù)y=5x2在[0,1]上可在標(biāo)準(zhǔn)1下線性近似”; 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_______________.1、2、3

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    三、解答題:本大題共6小題,共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

    16.(本小題滿分12分)

    口袋中有大小、質(zhì)地均相同的8個(gè)球,4個(gè)紅球,4個(gè)黑球,現(xiàn)在中任取4個(gè)球.

    (1)求取出的球顏色相同的概率;

    (2)若取出的紅球數(shù)不少于黑球數(shù),則可獲得獎(jiǎng)品,求獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率.

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    16.解:(1)取出4個(gè)球都是紅球,;………………………………………(2分)

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    取出4個(gè)球都是黑球,;………………………………………………………(4分)

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    ∴取出4球同色的概率為…………………………………………………(6分)

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    (2)取出4個(gè)紅球,;…………………………………………………………(7分)

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    取出3紅1黑,………………………………………………………………(9分)

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    取出2紅2黑,……………………………………………………………(11分)

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    ∴獲獎(jiǎng)概率為+ ……………………………………………………(12分)

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    17.(本小題滿分12分) △ABC中,角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,且滿足

       (1)求角C;

       (2)若△ABC的周長(zhǎng)為2,求△ABC面積的最大值。

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    解:(1)   ……………………4分

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       (2)由

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    ……………………8分

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    (舍)或

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    故當(dāng)………………12分

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    18.(本小題滿分12分)如圖1,在矩形中,的中點(diǎn),以為折痕將向上折起,使,且平面平面

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    (Ⅰ)求證:;

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    (Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.

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    解(Ⅰ)在中,,

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    中,,

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    .……(2分)

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    ∵平面平面,且交線為,

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    平面.……(4分)

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    平面,

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    .……(5分)

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    (Ⅱ)設(shè)相交于點(diǎn),由(Ⅰ)知,

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    ,

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    平面,

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    平面,

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    ∴平面平面,且交線為,

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    如圖2,作,垂足為,則平面

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    連結(jié),則是直線與平面所成的角.……(8分)

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    由平面幾何的知識(shí)可知,∴.……(9分)

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    中,,……(10分)

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    中,,可求得.……(11分)

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    .……(12分)

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    ∴直線與平面所成的角的正弦值為

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    19. (本小題滿分13分) 一位救生員站在邊長(zhǎng)為100米的正方形游泳池ABCD的A處(如圖),發(fā)現(xiàn)C處有一位溺水者.他跑到E處后,馬上跳水沿直線EC游到C處,已知救生員跑步的速度為米/分,游泳的速度為米/分.試問,救生員選擇在何處入水才能最快到達(dá)C處,所用的最短時(shí)間是多少?

     

     

     

    解析:方法一: 設(shè)AE=x(米),所用時(shí)間,

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    .……(2分)

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    由y’=0,得,……(8分)

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    解得(“+”舍),……(10分)

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    所以時(shí),所用時(shí)間最少.……(12分)

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    也即,救生員應(yīng)該在AB邊上距B點(diǎn)米處入水,才能最快到達(dá)C處,所用的最短時(shí)間為

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    方法二:設(shè),則,所以,

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           等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng),即,即時(shí)成立.

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           此時(shí),,

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    20.(本小題滿分13分)如圖,點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn),左準(zhǔn)線軸于點(diǎn),點(diǎn)P是上的一點(diǎn),已知,且線段PF的中點(diǎn)在雙曲線的左支上.

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    (Ⅰ)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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    (Ⅱ)若過點(diǎn)的直線與雙曲線的左右

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    兩支分別交于、兩點(diǎn),設(shè),當(dāng)

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    時(shí),求直線的斜率的取值范圍.

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    (Ⅰ)設(shè)所求雙曲線為:.其左焦點(diǎn)為F(-c。0);左準(zhǔn)線:.…(1分)

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    ,得P(,1);由(3分)

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    FP的中點(diǎn)為.代入雙曲線方程:

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    ……(5分)

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        根據(jù)(1)與(2).所求雙曲線方程為.(6分)

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        (Ⅱ)如圖設(shè)A(x1,y1) ,B (x2,y2).F(-2,0).   由,得:

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    又  ……(8分)

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    消元得,……(10分)

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    ,又解得……(11分)

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    所以直線的斜率的取值范圍是.……(11分)

     

     

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    21. (本小題滿分13分)已知數(shù)列滿足,

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    (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式

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    (Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和;

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    (Ⅲ)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為.求證:對(duì)任意的

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    解:(Ⅰ),,……(2分)

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    ,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.

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     , 即.  ……(4分)

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    (Ⅱ)

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    .    ……(7分) 

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    (Ⅲ),  .  (9分)

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    當(dāng)時(shí),則

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    ……(10分)

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    .……(12分)

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    ,   對(duì)任意的,.     ……(13分)

     

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