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    2004年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試
    數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）（重慶卷）
     
    本試卷分第Ⅰ部分（選擇題）和第Ⅱ部分（非選擇題）共150分 考試時間120分鐘. 
     
    第Ⅰ部分（選擇題  共60分）
     
    參考公式：
    如果事件A、B互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)
    如果事件A、B相互獨立，那幺 P(A?B)=P(A)?P(B)
    如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率 
     
    一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
    （1）函數(shù)的定義域是：                                   
    

    試題詳情
    

    （A）       （B）    
 （C）        （D）
    

    試題詳情
    

    （2）設(shè)復數(shù), 則                                                       （A）?3           （B）3         
        （C）－3i         （D）3i
    

    試題詳情
    

    （3）圓的圓心到直線的距離為                         
    

    試題詳情
    

        （A）2          （B）        
  （C）1         
  （D）
    

    試題詳情
    

    （4）不等式的解集是                                                                               （A）             （B）
    

    試題詳情
    

      
 （C）                           （D）
    

    試題詳情
    

    （5）                                                                       （A）     
    （B）         
（C）        （D）
    

    試題詳情
    

    （6）若向量的夾角為，,則向量的模為       （A）2             （B）4        
  （C）6            （D）12
    

    試題詳情
    

    （7）一元二次方程有一個正根和一個負根的充分不必要條件是：
    

    試題詳情
    

        （A）     
    （B）    
  （C）       （D）
    

    試題詳情
    

    （8）設(shè)P是的二面角內(nèi)一點，垂足，則AB的長為                                                                
    

    試題詳情
    

      
 （A）          （B）        （C）          （D）
    

    試題詳情
    

    （9） 若是等差數(shù)列，首項，則使前n項和成立的最大自然數(shù)n是：                                                                
         （A）4005           （B）4006         （C）4007           （D）4008
    

    試題詳情
    

    （10）已知雙曲線的左，右焦點分別為,點P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：                                               
    

    試題詳情
    

          （A）              （B）           （C）        
    （D）
    （11）某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為：              
    

    試題詳情
    

      
 （A）            （B）     
    （C）         
                        （D）
    （12）若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成圖形可能是
    

    試題詳情
    

    


    
 
    
  
  
  
  
 
    
 
    
  
  
  
  
 
    

    




    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    A
    A
    C
    B
     
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    P
    P
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    C
    B
     
                 
（A）                                 
（B）
    

    試題詳情
    

    


    
 
    
  
  
  
  
 
    
 
    
  
  
  
  
 
    

    




    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    C
    B
    A
    B
    A
    C
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    P
    P
     
     
     
               
（C）               
                    （D）
     
    第Ⅱ部分（非選擇題 共90分）
     
     
    

    試題詳情
    

    二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.
    （13）若在的展開式中的系數(shù)為，則.
    

    試題詳情
    

    （14）曲線在交點處切線的夾角是______，（用幅度數(shù)作答）
    

    試題詳情
    

    （15）如圖P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圓形P3、P4、…..，Pn，…,記紙板Pn的面積為，則.
    

    試題詳情
    

    


    
 
    
  
  
  
  
 
    
 
    
  
  
  
  
 
    
 
    
  
 
    

    

 
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    （16）對任意實數(shù)K，直線：與橢圓：恒有公共點，則b取值范圍是_______________
    （17）（本小題滿分12分）
    

    試題詳情
    

    三、解答題：本題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 
    求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在
    

    試題詳情
    

    上的單調(diào)遞增區(qū)間。
     
     
     
    （18）（本小題滿分12分）
    

    試題詳情
    

    設(shè)一汽車在前進途中要經(jīng)過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈（允許通行）的概率為，遇到紅燈（禁止通行）的概率為。假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進，表示停車時已經(jīng)通過的路口數(shù)，求：
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）的概率的分布列及期望E;
    （Ⅱ）停車時最多已通過3個路口的概率。
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    （19）（本小題滿分12分）
    

    試題詳情
    

         如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，
    （Ⅰ）明MF是異面直線AB與PC的公垂線；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）若,求直線AC與平面EAM所成角的正弦值。
    

    試題詳情
    

    
 
    
  
    
   
  
    
  
    
   
   
   
    
    
    
     
     
    
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    （20）（本小題滿分12分）
    

    試題詳情
    

    設(shè)函數(shù)
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）求導數(shù); 并證明有兩個不同的極值點; 
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）若不等式成立，求的取值范圍.
     
     
     
     
     
    （21）（本小題滿分12分）
    

    試題詳情
    

    設(shè)是一常數(shù)，過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）。試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程.
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    Y
     
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    y2=2px
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    B
     
     
     
     
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    X
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    Q(2p,0)
    O
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    A
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    （22）（本小題滿分14分）
    

    試題詳情
    

    設(shè)數(shù)列滿足
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）證明對一切正整數(shù)n 成立；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）令,判斷的大小，并說明理由。
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    2004年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試
    數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）（重慶卷）
    

    試題詳情
    

     
    一、選擇題：每小題5分，共60分.
    （1）D     （2）A     （3）D     
（4）A     （5）B      （6）C  
    （7）C     （8）C     （9）B     
（10）B    （11）D     
（12）D
    二、填空題：每小題4分，共16分.
    （13）－2   （14）   （15）   （16）[－1，3]
    三、解答題：共74分.
    （17）（本小題12分）
    解： 
         

    故該函數(shù)的最小正周期是；最小值是－2；
    單增區(qū)間是[]，
    （18）（本小題12分）
          解：（I）的所有可能值為0，1，2，3，4
                 用AK表示“汽車通過第k個路口時不停（遇綠燈）”，
    則P（AK）=獨立.
    故
      
    從而有分布列：
    


    
 
    
  
 
    
 
    
  
  
 
    

    

 
                0     1       2       
3        4
     
        P                          
                 
                 （II）
                 答：停車時最多已通過3個路口的概率為.
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
       （I）證明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，
    故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，
    又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
    證得AEFM是矩形，故AM⊥MF.
    又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，
    而MF∥AE，得MF⊥面PCD，
    故MF⊥PC，
    因此MF是AB與PC的公垂線.
          （II）解：連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)BE，過O作BE的垂線OH，
            垂足H在BE上.
                   易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，
                   又OH⊥BE，故OH//DE，
                   因此OH⊥面MAE.
                   連結(jié)AH，則∠HAO是所要求的線AC與面NAE所成的角  
                   設(shè)AB=a，則PA=3a， .
                   因Rt△ADE~Rt△PDA，故
                   
                   
    （20）（本小題12分）
          解：（I）
          

                 因此是極大值點，是極小值點.
                 （II）因
            
                 又由（I）知
                 
                 代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡得
            
    （21）（本小題12分）
       解法一：由題意，直線AB不能是水平線，  故可設(shè)直線方程為：.
       又設(shè)，則其坐標滿足
    


    
 
    
  
  
      
   
      
    
    
      
    
            由此得   
            
            因此.
            故O必在圓H的圓周上.
            又由題意圓心H（）是AB的中點，故
            
            由前已證，OH應是圓H的半徑，且.
            從而當k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.
            此時，直線AB的方程為：x=2p.
            解法二：由題意，直線AB不能是水平線，故可設(shè)直線方程為：ky=x－2p
            又設(shè)，則其坐標滿足
         分別消去x，y得
            故得A、B所在圓的方程
            明顯地，O（0，0）滿足上面方程所表示的圓上，
            又知A、B中點H的坐標為
            故 
            而前面圓的方程可表示為
            故|OH|為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過點O（0，0）.
            又，
            故當k=0時，R2最小，從而圓的面積最小，此時直線AB的方程為：x=2p.
            解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上
            又直徑|AB|=
            上式當時，等號成立，直徑|AB|最小，從而圓面積最小.
            此時直線AB的方程為x=2p.
      （22）（本小題14分）
            （I）證法一：當不等式成立.
                       
                       綜上由數(shù)學歸納法可知，對一切正整數(shù)成立.
                       證法二：當n=1時，.結(jié)論成立.
                       假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即

                       當的單增性和歸納假設(shè)有
                       
                       所以當n=k+1時，結(jié)論成立.
                       因此，對一切正整數(shù)n均成立.
                       證法三：由遞推公式得 
                       
                       上述各式相加并化簡得  
                       
            （II）解法一：
              

                       解法二：
      


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            I
                             解法三：
                                     

                             故.
             
             
             
             
             
             
             
             
             
             
             
            
				
	



            
	



            

            

            








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