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1．  已知，i不虛數(shù)單位，若，則x的值等于

A．                        B．                        C．2                            D．6

2．  設(shè)向量，，且∥，則銳角為

              A．                                B．                                 C．                          D．

3．  “”是“線與圓相交”的

              A．充分而不必要條件                                                                       B．必要而不充分條件

              C．充分必要條件                                                                                     D．既不充分也不必要條件

4．  函數(shù)的圖像大致為

A                                                                    B                                                             C                                                          D

5．  設(shè)、為不重合的平面，m、n為不重合的直線，則下列命題正確的是

              A．若，，，則

              B．若，，m∥n，則∥

              C．若m∥，n∥，mn，則

D．若，，，則

6．  關(guān)于函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，下列說(shuō)法正確的是

              A．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)

              B．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)

              C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

              D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

7．  右圖是計(jì)算函數(shù)的值的程序框圖，

              在①、②、③處應(yīng)分別填入的是

              A．，，

              B．，，

              C．，，

              D．，，

8．  已知直線與直線互相垂直，則的最小值為

              A．5                                  B．4                                   C．2                                   D．1

9．  已知函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，

              則，，的大小關(guān)系是

              A．                             B．

              C．                              D．

10．的展開(kāi)式中，的系數(shù)可以表示從n個(gè)不同物體中選出k個(gè)的方法總數(shù)。下列

              各式的展開(kāi)式中的系數(shù)恰能表示從重量分別為1、2、3、…、10克的砝碼（每種砝

碼各一個(gè)）中選出若干個(gè)，使其總重量恰為8克的方法總數(shù)的選項(xiàng)是

A．

B．

C．

D．

第Ⅱ卷(非選擇題  共100分)

11．為了測(cè)算如圖陰影部分的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形將

其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn)。已知恰有

200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此，可估計(jì)陰影部分的面積是

_____________。

12．已知x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值是_____。

13．如圖，直線與曲線所圍圖形的

面積是_________。

14．在銳角△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、

              b、c，且，則______。

15．已知橢圓的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上。

              小明從曲線、上各取若干個(gè)點(diǎn)（每條曲線上至少取兩個(gè)點(diǎn)），并記錄其坐標(biāo)。

              由于記錄失誤，使得其中恰有一個(gè)點(diǎn)既不在橢圓上，也不在拋物線上。小明的記

              錄如下：

0

2

3

2

0

據(jù)此，可推斷橢圓的方程為_(kāi)______________。

16．（本小題滿(mǎn)分13分）

在等比數(shù)列中，，。

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

17．（本小題滿(mǎn)分13分）

甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)�，F(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中

隨機(jī)抽取8次，記錄如下：

甲           82           81           79           78           95           88           93           84

乙           92           95           80           75           83           80           90           85

（Ⅰ）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；

（Ⅱ）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參

加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）若將頻率視為概率，對(duì)甲同學(xué)在今后的3次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這3次成

績(jī)中高于80分的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

18．（本小題滿(mǎn)分13分）

                            四棱錐P－ABCD的底面與四個(gè)側(cè)面的形狀和大小如圖所示。

（Ⅰ）寫(xiě)出四棱錐P－ABCD中四對(duì)線面垂直關(guān)系（不要求證明）；

（Ⅱ）在四棱錐P－ABCD中，若E為PA的中點(diǎn)，求證：BE∥平面PCD；

（Ⅲ）在四棱錐P－ABCD中，設(shè)面PAB與面PCD所成的角為，求

的值

19．（本題滿(mǎn)分13分）

已知橢圓C的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分

別為，。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩

點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問(wèn)：當(dāng)

m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？

若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

20．（本小題滿(mǎn)分14分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，，如果存在曲線上的點(diǎn)

，且，使得曲線在點(diǎn)處的切線∥，則稱(chēng)為弦             的伴隨切線。特別地，當(dāng)時(shí)，又稱(chēng)為的λ－

伴隨切線。

（?）求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；

（?）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給

出一條這樣的曲線 ，并證明你的結(jié)論； 若不存在 ，說(shuō)明理由。

21．本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿(mǎn)分14分。

              如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分。作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)

              的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。

（1）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4-2：矩陣與變換

已知，矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換把點(diǎn)變成點(diǎn)，

求矩陣A的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量。

（2）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，圓C的參數(shù)方程為（

是參數(shù)）。直線與圓C交于、兩點(diǎn)，求、兩點(diǎn)間的距離。

（3）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4－5：不等式選講

解不等式：。

2009年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查

理科數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說(shuō)明：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

C

D

D

B

C

B

A

11、9                                                12、5                                        13、                                      14、                                         15、

16、（本小題滿(mǎn)分13分）

在等比數(shù)列中，，。

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

16、本小主要考查等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。滿(mǎn)分13分

解：（Ⅰ）     設(shè)等比數(shù)列的公比為q。

依題意，得            ………………………………………………       2分

解得，             ………………………………………………………………              4分

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式：。              …………………………              7分

（Ⅱ）     由（Ⅰ）得，。

                                            。          ………………………………………………              10分

                                            ∴

                                                                        。             …………………………………………………              13分

17、（本小題滿(mǎn)分13分）

甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)。現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中

隨機(jī)抽取8次，記錄如下：

甲                         82                         81                         79                         78                         95                         88                         93                         84

乙                         92                         95                         80                         75                         83                         80                         90                         85

（Ⅰ）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；

（Ⅱ）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參

加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）若將頻率視為概率，對(duì)甲同學(xué)在今后的3次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這3次成

績(jī)中高于80分的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

17、本小主要考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿(mǎn)分13分。

解：（Ⅰ）     作出莖葉圖如下：

………………………………………         4分

（Ⅱ）     派甲參賽比較合適。理由如下：

，

，

，

                                                               ∵，，

∴甲的成績(jī)較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適。     ………………………………              8分

注：本小題的結(jié)論及理由均不唯一，如果考生能從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析，給出其他合理回答，同樣給分。如

派乙參賽比較合適。理由如下：

從統(tǒng)計(jì)的角度看，甲獲得85分以上（含85分）的概率，

乙獲得85分以上（含85分）的概率。

∵，∴派乙參賽比較合適。

（Ⅲ）       記“甲同學(xué)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)高于80分”為事件A，

                                              則。              …………………………………………………………              9分

                                              隨機(jī)變量的可能取值為0、1、2、3，且。

                                              ∴，。

                                              所以變量的分布列為：                                             

0

1

2

3

P

……………………………………………………………………………            11分

。

（或）        ………………………………………………              13分

18、（本小題滿(mǎn)分13分）

                            四棱錐P－ABCD的底面與四個(gè)側(cè)面的形狀和大小如圖所示。

（Ⅰ）寫(xiě)出四棱錐P－ABCD中四對(duì)線面垂直關(guān)系（不要求證明）；

（Ⅱ）在四棱錐P－ABCD中，若E為PA的中點(diǎn)，求證：BE∥平面PCD；

（Ⅲ）在四棱錐P－ABCD中，設(shè)面PAB與面PCD所成的角為，求

的值

18、本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間

想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力。滿(mǎn)分13分。

解法一：

（Ⅰ）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，

                                     AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD

……………………………………     4分

注：多寫(xiě)的按前四對(duì)給分，每正確一對(duì)，給一分。

CD⊥平面PAC也符合要求。

（Ⅱ）依題意AB、AD、AP兩兩垂直，分別以直線AB、AD、AP為x、y、z軸，

建立空間直角坐標(biāo)第，如圖。         ……………………………………………    5分

則，，，。

∵E是PA中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

，，。

設(shè)是平面PCD的法向量。

由，即

取，得為平面PCD的一個(gè)法向量。        ………………              6分

∵，∴，         ………………………    7分

∴∥平面PCD。又BE平面PCD，∴BE∥平面PCD。   …………       8分

（Ⅲ）由（Ⅱ），平面PCD的一個(gè)法向量為，           …………………    10分

                                     又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一個(gè)法向量為        ……       11分

                                     ∴。        …………………………………………       13分

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）取PD的中點(diǎn)F，連接EF、CF。

∵E、F分別是PA、PD的中點(diǎn)，

∴EF∥AD，EFAD，∴EF∥BC，且EFBC，

∴四邊形BEFC是平行四邊形，∴BE∥CF。              …………………………       6分

又∵CF平面PCD，BE平面PCD，

∴BE∥平面PCD。           ………………………………………………………         8分

（Ⅲ）依題意AB、AD、AP兩兩垂直，分別以直線AB、AD、AP為x、y、z軸，

建立空間直角坐標(biāo)第，如圖。  ……………………………………………    9分

則，，。

∵E是PA中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

，。

設(shè)是平面PCD的法向量。

由，即

取，得為平面PCD的一個(gè)法向量。        ………………              10分

                                     又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一個(gè)法向量為        ……       11分

                                                               ∴。        …………………………………………       13分

解法三：

              （Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)N，連接EN，BN，

∵E、N分別是PA、AD的中點(diǎn)，

∴EN∥平PD，又EN平面PCD，

∴EN∥平面PCD         ……………………………………………………………    5分

在直角梯形ABCD中，BC∥AD且BCADDN，

∴四邊形BCDN是平行四邊形，BN∥CD。

又∵平面PCD，∴BN∥平面PCD。             ………………………………       6分

∵，∴平面BEN∥平面PCD�！�……………………………        7分

又BE平面BEN，∴BE∥平面PCD。          …………………………………         8分

（Ⅲ）同解法二。

19、（本題滿(mǎn)分13分）

                         已知橢圓C的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分

別為，。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩

點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問(wèn)：當(dāng)

m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？

若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

19、本題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形

結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等。滿(mǎn)分13分。

解法一：

（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為。              …………………………           1分

∵，，∴，。       ………………           4分

∴橢圓的方程為。  ………………………………………         5分

（Ⅱ）取得，

直線的方程是直線的方程是

交點(diǎn)為           ………………………………………………………         7分

若，由對(duì)稱(chēng)性可知交點(diǎn)為

若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。           …………………         8分

以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。

事實(shí)上，由

得即，

記，則。…………         9分

設(shè)與交于點(diǎn)由得

設(shè)與交于點(diǎn)由得………         10分

，                     ……………………………………………         12分

∴，即與重合，

這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。              ………………           13分

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）取得，

直線的方程是直線的方程是

交點(diǎn)為 ……………………………………………………………         7分

取得，

直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為

∴若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。               ………………           8分

以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。

事實(shí)上，由

得即，

記，則�！�……………           9分

的方程是的方程是

消去得……………………………………   ①

以下用分析法證明時(shí)，①式恒成立。

要證明①式恒成立，只需證明

即證即證………………  ②

∵∴②式恒成立。

這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。

解法三：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）由

得即。

記，則。……………         6分

的方程是的方程是       ……           7分

由得  …………………         9分

即

………………………………           12分

這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。                  ………………           13分

20、（本小題滿(mǎn)分14分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，如果存在曲線上的點(diǎn)，

且，使得曲線在點(diǎn)處的切線，則稱(chēng)為弦的伴隨切線。

特別地，當(dāng)時(shí)，又稱(chēng)為的λ-伴隨切線。

（?）求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；

（?）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出

一條這樣的曲線 ，并證明你的結(jié)論； 若不存在 ，說(shuō)明理由。

20、本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形

結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想。滿(mǎn)分14分。

解法一：

（Ⅰ）     …………………………………………………………       2分

當(dāng)，，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，

∴函數(shù)沒(méi)有極值。              ……………………………………………………       3分

當(dāng)時(shí)，令，得。

當(dāng)變化時(shí)，與變化情況如下表：

＋

0

－

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

∴當(dāng)時(shí)，取得極大值。

綜上，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值；

當(dāng)時(shí)，的極大值為，沒(méi)有極小值。                     ……………           5分

（Ⅱ）（?）設(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，要證明

有伴隨切線，只需證明存在點(diǎn)，使得

，且點(diǎn)不在上。              …………………………       7分

∵，即證存在，使得，即成立，且點(diǎn)不在上。    …………………    8分

以下證明方程在內(nèi)有解。

記，則。

令，

∴，

∴在內(nèi)是減函數(shù)，∴。

取，則，即�！�…             9分

同理可證。∴。

∴函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)。

即方程在內(nèi)有解�！�……………             10分

又對(duì)于函數(shù)取，則

可知，即點(diǎn)Q不在上。

是增函數(shù)，∴的零點(diǎn)是唯一的，

即方程在內(nèi)有唯一解。

綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。

……………………………………………………………………………     11分

（?）取曲線C：，則曲線的任意一條弦均有伴隨切線。

證明如下：

設(shè)是曲線C上任意兩點(diǎn)，

則，

又，

即曲線C：的任意一條弦均有伴隨切線。    …………………           14分

注：只要考生給出一條滿(mǎn)足條件的曲線，并給出正確證明，均給滿(mǎn)分。若只給曲

線，沒(méi)有給出正確的證明，不給分。

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）（?）設(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，要證明

有伴隨切線，只需證明存在點(diǎn)，使得

，且點(diǎn)不在上。  ……………………………    7分

∵，即證存在，使得，

即成立，且點(diǎn)不在上。       ……………    8分

以下證明方程在內(nèi)有解。

設(shè)。

則。

記，

∴，

∴在內(nèi)是增函數(shù)，

∴。   ……………………………………………    9分

同理。。

∴方程在內(nèi)有解。      …………       10分

又對(duì)于函數(shù)，

∵，，

可知，即點(diǎn)Q不在上。

又在內(nèi)是增函數(shù)，

∴方程在內(nèi)有唯一解。

綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。

……………………………………………………………………………     11分

（?）同解法一。

21、（1）（本小題滿(mǎn)分7分）

已知矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換把點(diǎn)變成，求矩陣A的特征值

以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量。

21（1）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4-2：矩陣與變換

                 本小題主要考查矩陣與變換、矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力。滿(mǎn)分7分。

解：由，得        …………………………………………       2分

矩陣A的特征多項(xiàng)式為。        ……………         4分

令，得矩陣A的特征值，。     ………………………         5分

對(duì)于特征值，解相應(yīng)的線性方程組，得一個(gè)非零解。

因此，是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量�！�……           6分

對(duì)于特征值，解相應(yīng)的線性方程組，得一個(gè)非零解。

因此，是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量   …………           7分

注：寫(xiě)出的特征向量只要滿(mǎn)足，即可。

（2）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，圓C的參數(shù)方程為（

是參數(shù)）。直線與圓C交于、兩點(diǎn)，求、兩點(diǎn)間的距離。

（2）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

                                   本小題主要考查圓的參數(shù)方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。

                                   滿(mǎn)分7分。

解法一：

                                   將圓的參數(shù)方程化為普通方程，得�！�……………………          2分

                                   直線的方程為，即。  ………………           3分

                                   圓心到直線的距離，                ………………………         5分

                                   所以。             ……………………………………………         7分

解法二：

                                   直線的參數(shù)方程為，即（t為參數(shù)），…………           1分

                                   將圓的參數(shù)方程化為普通方程，得�！�……………………          3分

                                   將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程得：

                                   ，即。           …………………………           4分

                                   ∵，，…………………………………………………          5分

                                   ，

                                   ∴、兩點(diǎn)間的距離為。             ……………………………………………         7分

（3）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4－5：不等式選講

                                   解不等式：。

（3）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4－5：不等式選講

本小題主要考查絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。滿(mǎn)分7分。

解：       當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：

                                   ，解得：或。

∴�！�……………………………………………………………………          2分

當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：

，解得：或

∴。          ………………………………………………………………           4分

當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：

，解得。

∴。                  ……………………………………………………………………           6分

綜上所述，原不等式的解集為。              …………………         7分