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1.若，則的周期是＿＿＿＿；2.若，則的周期是＿＿＿＿；

3. 若，則的周期是＿＿＿＿；

4.若是偶函數(shù)，且圖象關(guān)于對(duì)稱，則的周期是＿＿＿＿；

★★★ 突 破 重 難 點(diǎn)

【范例1】設(shè)函數(shù)定義在R上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總有，且當(dāng)時(shí)，。（1）證明：，且時(shí)

（2）證明：函數(shù)在R上單調(diào)遞減

（3）設(shè)，若，確定的取值范圍。

（1）解：令，則，對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，

設(shè)，則，由得，

當(dāng)時(shí)，  當(dāng)時(shí), ,

（2）證法一：設(shè)，則，

,函數(shù)為減函數(shù)

證法二：設(shè)，則

=

,

故    ,函數(shù)為減函數(shù)

（3）解：∵，  ∴

若，則圓心到直線的距離應(yīng)滿足，解之得

，

變式：已知定義在R上的函數(shù)滿足：，當(dāng)x＜0時(shí)，。

    （1）求證：為奇函數(shù)；（2）求證：為R上的增函數(shù)；

    （3）解關(guān)于x的不等式：。（其中且a為常數(shù)）

解：（1）由，令，得：

    ，即

    再令，即，得：

    是奇函數(shù)………………4分

    （2）設(shè)，且，則

    由已知得：

    即在R上是增函數(shù)………………8分

    （3）

    即

    當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為

    當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為

    當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為………………13分

【范例2】已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).，（1）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；

（2）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x₁、x₂.試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，

∴f＇(x)≥0對(duì)x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立.        ①

設(shè)j (x)=x²－ax－2，

①

          －1≤a≤1，

  ∵對(duì)x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí)，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.     

（2）由=，得x²－ax－2=0，   ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實(shí)根，

             x₁+x₂=a，

∴          從而|x₁－x₂|==.

x₁x₂=－2，

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

設(shè)g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

     g(－1)=m²－m－2≥0，

②  

         g(1)=m²+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；

當(dāng)m≠0時(shí)，

      m>0，                m<0，

②                  或

       g(－1)=m²－m－2≥0      g(1)=m²+m－2≥0

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

【點(diǎn)晴】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.在解決函數(shù)綜合問(wèn)題時(shí)要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決.

變式：設(shè)函數(shù)，其中

（1）解不等式

（2）求的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)。

解：（1）不等式即為

當(dāng)時(shí)，不等式解集為

當(dāng)時(shí)，不等式解集為

當(dāng)時(shí)，不等式解集為

（2）在上任取，則

所以要使在遞減即，只要即

故當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)。

【范例3】已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，且同時(shí)滿足：①；②恒成立；③若，則有．

（1）試求函數(shù)的最大值和最小值；

（2）試比較與的大小N）；

（3）某人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x=(nÎN)時(shí)，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：對(duì)一切xÎ(0,1,都有，請(qǐng)你判斷此猜想是否正確，并說(shuō)明理由．

解: (1)設(shè)0≤x₁<x₂≤1,則必存在實(shí)數(shù)tÎ(0,1),使得x₂=x₁+t,

   由條件③得,f(x₂)=f(x₁+t)³f(x₁)+f(t)-2,

   ∴f(x₂)-f(x₁)³f(t)-2,

   由條件②得, f(x₂)-f(x₁)³0,

   故當(dāng)0≤x≤1時(shí),有f(0)≤f(x)≤f(1).                

   又在條件③中,令x₁=0,x₂=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,  

   故函數(shù)f(x)的最大值為3,最小值為2.                        

(2)解:在條件③中,令x₁=x₂=,得f()³2f()-2,即f()-2≤[f()-2],  

   故當(dāng)nÎN*時(shí)，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤???≤[f()-2]=,

   即f()≤+2.

   又f()=f(1)=3≤2+,

   所以對(duì)一切nÎN,都有f()≤+2.                  

(3)對(duì)一切xÎ(0,1,都有.

  對(duì)任意滿足xÎ(0,1，總存在n(nÎN),使得

        <x≤,                  

  根據(jù)（1）（2）結(jié)論，可知：

f(x)≤f()≤+2,

且2x+2>2´+2=+2,

故有.

綜上所述，對(duì)任意xÎ(0,1,恒成立.