太 原 五 中
2006―2007學(xué)年度第二學(xué)期月考試題（5月）
高 三 數(shù) 學(xué)(理)
一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每題5分）
1． 設(shè)全集U＝R，M＝{x | x＞2}，N＝{x | ＜2}，那么下列關(guān)系中正確的是
A．M＝N B．N Í M C．M Í N D．M∩N = F
2． 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(2＋i)z＝1－i，那么復(fù)數(shù)z等于
A．1－i B．1＋i C．＋i D．－i
3． 若△ABC的內(nèi)角滿足sinA＋cosA＞0，tanA-sinA＜0，則角A的取值范圍是
A．（0， ） B．（，） C．（，） D．（，p ）
4． 已知等差數(shù)列{a n}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2的值為
A．－4 B．－6 C．－8 D．－10
5． 不等式組 有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A．（－1，3） B．（－3，1）C．(－¥，1)∪(3，＋¥) D．(－∞，－3)∪(1，＋¥)
6．
函數(shù)
的大致圖像是
A B C D
7． 函數(shù)f（x）與g(x)＝()x的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則f（4x- x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為
A．（－¥，2） B．（0，2） C．（2，4） D．（2，＋¥）
8． 如圖，在下列六個(gè)圖中，每個(gè)小四邊形皆為全等的正方形，那么沿其正方形相鄰邊折疊，能夠圍成正方體的是
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① �、凇 、邸 、堋 、� �、�
A．① ② ④ B．① ③ ⑤ ⑥ C．② ⑤ ⑥ D．① ③ ⑥
9．
某批袋裝食品的質(zhì)量服從正態(tài)分布N (500，4) (單位：g)，任選購(gòu)一袋此種食品，其質(zhì)量在
A．2j (1)－1 B．1－j (1) C．j (1) D．j (1)－
10． 將函數(shù)y＝sinx－cosx的圖像向右平移了j 個(gè)單位，所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則j 的最小正值是
A． B． C． D．
11． 已知f (x)是R上的偶函數(shù)，對(duì)x Î R都有f (x＋6)＝f (x)＋f (3)成立，則f(2007)＝
A．2007 B．
12． 已知橢圓 ，則其內(nèi)接三角形面積的最大值為
A．6 B．
二、填空題（每小題4分）
13．
在
的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是________．
14． 實(shí)數(shù)x，y滿足方程 x2＋y2＝6x－4y－9，則2x－3y的最大值與最小值的和等于 。
15． 若∆ABC內(nèi)切圓半徑為r，三邊長(zhǎng)為a、b、c，則∆ABC的面積S＝r (a+b+c). 若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個(gè)面的面積為S1、S2 、S3 、S4，則四面體的體積V＝
16． 某商場(chǎng)開(kāi)展促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)，搖出的中獎(jiǎng)號(hào)碼是8，2，5，3，7，1，參加抽獎(jiǎng)的每位顧客從0～9這10個(gè)號(hào)碼中任意抽出六個(gè)組成一組，若顧客抽出的六個(gè)號(hào)碼中至少有5個(gè)與搖出的號(hào)碼相同（不計(jì)順序）即可得獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率是________．
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2006―2007學(xué)年度第二學(xué)期月考試題（5月）
高三數(shù)學(xué)答卷紙(理)
題 號(hào)
一
二
三
總 分
17
18
19
20
21
22
得 分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、填空題（每小題4分）
13．常數(shù)項(xiàng)是________． 14．最大值與最小值的和等于 。
15．四面體的體積V＝ 16．中獎(jiǎng)的概率是 ．
三、解答題
17． (12分)已知函數(shù)f (x)＝2cos2x＋sin2x＋a (aÎ R)．
(Ⅰ)若x∈R，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)若x∈[0，]時(shí)，f（x）的最大值為4，求a的值，并指出這時(shí)x的值．
18．
(12分)如圖．已知斜三棱柱ABC- A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)棱BB1與底面ABC所成角為，且側(cè)面ABB1 A1垂直于底面ABC．
(Ⅰ)求證：點(diǎn)B1在平面ABC上的射影為AB的中點(diǎn)；
(Ⅱ)求二面角C－AB1－A1的大小；
(Ⅲ)求直線B1C與C1A所成的角．
19． (14分)某人投籃命中率為0.7，且各次投籃的結(jié)果互不影響。
(Ⅰ)若連續(xù)投中兩次就停止，求最多投籃三次就停止的概率；
(Ⅱ)若連續(xù)投籃4次，記投中的次數(shù)與沒(méi)投中的次數(shù)之差為ξ。
(1)寫出ξ的分布列；(2)求ξ的期望與方差。
20． （12分）設(shè)f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，對(duì)任意x1，x2 Î[0，]，都有f (x1＋x2)＝f (x1) f (x2)，且f (1)＝a＞0.
（Ⅰ）求f ()及f ()；
（Ⅱ）證明f (x)是周期函數(shù)；
（Ⅲ）記a n＝f (2n＋)，求 (lna n)。
21．
（本題12分）已知橢圓C的方程為
+
=1（a>b>0），雙曲線－=1的兩條漸近線為l1、l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B.（如圖）
（Ⅰ）當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)
=λ
時(shí)，求λ的最大值.
22． （12分）已知函數(shù)f (x)＝x2＋lnx..
(Ⅰ)求函數(shù)f (x)在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值；
(Ⅱ)求證：在區(qū)間[1，＋¥]上，函數(shù)f (x)的圖象在函數(shù)g (x)＝x3的下方；
(Ⅲ)設(shè)h (x)＝f ′ (x)，求證：[h (x)] n＋2≥h (x n)＋2 n.
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2006―2007學(xué)年度第二學(xué)期月考試題（5月）
高三數(shù)學(xué)答案(理)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
C
B
A
C
C
D
A
C
D
B
二、填空題（每小題4分）
13．7 14．24 15．R(S1＋S2＋S3＋S4) 16．
17．解：（1）f (x)＝sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a．…………………………3分
解不等式2kp－≤2x＋≤2kp＋．
得kp－≤x≤kp＋ (k ÎZ)
∴ f (x)的單調(diào)增區(qū)間為[kp－，kp＋] (k ÎZ)． ……………………………6分
�。�2）∵ x Î [0，]， ∴ ≤2x＋≤． ……………………………8分
∴ 當(dāng)2x＋＝，即x＝時(shí)，f (x)max＝3＋a． ……………………………10分
∵ 3＋a＝4，∴ a＝1，此時(shí)x＝．
……………………………12分
18．解析：（1）如圖，在平面ABB1A1內(nèi)，過(guò)B1作B1D⊥AB于D，
∵ 側(cè)面ABB1A1⊥平面ABC，
∴ B1D⊥平面ABC，∠B1BA是B1B與平面ABC所成的角，
∴ ∠B1BA＝60°． ……………………………2分
∵ 四邊形AB B1A1是菱形，
∴ △AB B1為正三角形，
∴ D是AB的中點(diǎn)，即B1在平面ABC上的射影為AB的中點(diǎn)．…………………4分
（2）連結(jié)CD，∵ △ABC為正三角形，
又∵ 平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，
∴ CD⊥平面ABB1A1，在平面ABB1A1內(nèi)，過(guò)D作DE⊥A1B于E，
連結(jié)CE，則CE⊥A1B，
∴ ∠CED為二面角C- AB1-B的平面角． ……………………………6分
在Rt△CED中，CD＝2sin60° ＝，
連結(jié)A1B于O，則BO＝，DE＝BO＝，
∴ tan∠CED＝＝2．
∴ 所求二面角C－AB1－A1的大小為p－arctan2． ……………………………8分
�。�3）解：連結(jié)BC1，
∵ BB1CC1是菱形 ∴ BC1⊥B1C.
∴ CD⊥平面ABB1A1，B1D⊥AB， ∴ B1C⊥AB，
∴ B1C⊥平面ABC1， ∴ B1C⊥C1A． ……………………………12分
19．解：(Ⅰ) 投籃兩次就停止的概率為 0.7×0.7＝0.49，
投籃兩次停止的概率為 0.3×0.7×0.7＝0.147，
∴ 最多投籃三次就停止的概率為P＝0.49＋0.147＝0.637. ……………………4分
(Ⅱ)解：(1)記連續(xù)投籃4次投中的次數(shù)為η，則沒(méi)投中的次數(shù)為4－η，
∴ ξ＝η－(4－η)＝2η－4.
∴ ξ的可能取值為－4，－2，0，2，4. ……………………6分
P(ξ＝－4)＝0.34＝0.0081， P(ξ＝－2)＝×0.7×0.33＝0.0756，
P(ξ＝0)＝×0.72×0.32＝0.2646， P(ξ＝2)＝×0.73×0.3＝0.4116，
P(ξ＝4)＝×0.74＝0.2401.
ξ
－4
－2
0
2
4
P
0.0081
0.0756
0.2646
0.4116
0.2401
ξ的分布列為
………………………10分
(2)∵η～B(4，0.7)， ∴ Eη＝4×0.7＝2.8，Dη＝4×0.7×0.3＝0.84。
∴ Eξ＝E(2η－4)＝2Eη－4＝5.6－4＝1.6， ………………………12分
Dξ＝4 Dη＝3.36. ………………………14分
20．解：（Ⅰ）令x1＝x2＝，得f(1)＝f()2，∴ f()＝。 …………………2分
令x1＝x2＝，得f()＝f()2，∴ f()＝. …………………4分
（Ⅱ）x＝1對(duì)稱有f(2－x)＝f(x)，又偶函數(shù)，∴ f(－x)＝f(x)，…………………5分
于是有f(2－x)＝f(－x)，對(duì)于任意x都成立，
用－x換x得f(2＋x)＝f(x)總成立，
∴函數(shù)是周期函數(shù)，T＝2是它的一個(gè)周期。 …………………7分
（Ⅲ）∵f(x)的周期是2，∴an＝f(2n＋)＝f()， ……………………8分
而f()＝f(n×)＝f()f[(n－1)×]＝f()?f()?…?f()＝f n()
故an＝[f()] ，即 an＝a . ……………………10分
因此， (ln an)＝ (ln a )＝ (ln a)＝0。 ……………………12分
21．解：（1）∵雙曲線的漸近線為y=±
x，兩漸近線夾角為60°，又<1，
∴∠POx=30°，即=tan30°=
. ∴a=
b.
…………………3分
又a2+b2=4， ∴a2=3，b2=1.
故橢圓C的方程為
+y2=1.
……………………5分
（2）由已知l：y=
（x－c），與y=x解得P（
，
）， …………………7分
由=λ得A（
，
）
………………………9分
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得
（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2
∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2 ……………………10分
∴λ2=
=－［（2－e2）+
］+3≤3－2
∴λ的最大值為－1.
…………………12分
23． 解：(Ⅰ)∵f ′(x)在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，
∴ 最大值是＋1，最小值是. ………………2分
(Ⅱ)設(shè)F(x)＝x2＋lnx－x3，
則F'(x)＝x＋－2x2＝. ……………………4分
∵x＞1，∴F'(x)＜0，所以函數(shù)F(x)在區(qū)間(1，＋¥)上單調(diào)遞減�！�5分
又 F(1)＝－＜0，∴ 在區(qū)間(1，＋¥)上，F(xiàn)(x)＜0，
即 x2＋lnx＜x3.
∴函數(shù)f (x)的圖象在函數(shù)g (x)＝x3的下方. ……………………7分
(Ⅲ)當(dāng)n＝1時(shí)，不等式成立。 ……………………8分
當(dāng)n≥2時(shí)，
[h (x)] n－h(huán) (x n)＝(x＋)n－(x n＋)
＝[(x n-2＋)＋(x n-4＋)＋…＋(x n-2＋) ]. ……………10分
由已知x＞0，[h (x)] n－h(huán) (x n)≥＋＋…＋＝2n－2，
∴[h (x)] n＋2≥h (x n)＋2 n ……………………12分
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