鹽城市2008/2009學(xué)年度高三第三次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)學(xué)科試題及答案
本試卷分第I卷（填空題）和第II卷（解答題）兩部分．考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上．
2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚．
3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效．
4．保持卡面清潔，不折疊，不破損．
5．作選考題時(shí)，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑．
參考公式：
樣本數(shù)據(jù)
，
，
，
的標(biāo)準(zhǔn)差 錐體體積公式
其中
為樣本平均數(shù) 其中
為底面面積、
為高
柱體體積公式 球的表面積、體積公式
，
其中為底面面積，為高 其中
為球的半徑
第I卷（填空題）
一、填空題：本大題共14小題,每小題5分,計(jì)70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程,請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上.
1．如果復(fù)數(shù)
的模為
，則
6 .
2．已知集合
，則
.
3．拋物線
的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 
.
4．如圖所示，一個(gè)水平放置的“靶子”共由10個(gè)同心圓構(gòu)成，其半徑分別為1┩、2┩、3┩、…、10┩，最內(nèi)的小圓稱為10環(huán)區(qū)，然后從內(nèi)向外的圓環(huán)依次為9環(huán)區(qū)、8環(huán)區(qū)、…、1環(huán)區(qū)，現(xiàn)隨機(jī)地向“靶子”上撒一粒豆子，則豆子落在8環(huán)區(qū)的概率為 
.
5．某幾何體的底部為圓柱，頂部為圓錐，其主視圖如圖所示，若
，則該幾何體的體積為 
.
6．如圖所示的程序框圖，如果輸入三個(gè)實(shí)數(shù)
，要求輸出這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入的內(nèi)容是 
.
7．將函數(shù)
的圖象向左平移
個(gè)單位后，所得的函數(shù)恰好是偶函數(shù)，則
的值為 .
8．已知函數(shù)
，數(shù)列
滿足
，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)
的取值范圍是 （2，3） .
9．圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個(gè)、5個(gè)、13個(gè)、25個(gè)第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第
個(gè)圖形包含
個(gè)“福娃迎迎”，則
= 
.（答案用數(shù)字或的解析式表示）
10．已知遞增的等比數(shù)列
滿足
，且
的等差中項(xiàng)，若
，則數(shù)列
的前
項(xiàng)和
= 
.
11．在邊長(zhǎng)為1的菱形
中，
，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，DE交AF于點(diǎn)H ，則
= 
.
12．若關(guān)于
的方程
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
滿足
,則
的取值范圍是 
.
13．若橢圓
上任一點(diǎn)到其上頂點(diǎn)的最大距離恰好等于該橢圓的中心到其準(zhǔn)線的距離，則該橢圓的離心率的取值范圍是 
.
14．已知定義在R上的函數(shù)
滿足
，當(dāng)
時(shí)，
. 若對(duì)任意的
，不等式組
均成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 
.
第II卷（解答題）
二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟,請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).
15．(本小題滿分14分)
如圖所示，角
為鈍角，且
，點(diǎn)
分別在角的兩邊上．
（Ⅰ）若
，求
的長(zhǎng)；
（Ⅱ）設(shè)
，且
，求
的值．
解：（Ⅰ）因?yàn)榻?sub>為鈍角，且
，所以
…………………………2分
在
中，由
，
得
………………………………………………5分
解得
或
(舍)，即
的長(zhǎng)為2………………………………………7分
（Ⅱ）由
，得
…………………………………………………9分
又
，
………………………………11分
所以
……………………………………………………………………14分
16．(本小題滿分14分)
某高中地處縣城，學(xué)校規(guī)定家到學(xué)校的路程在10里以內(nèi)的學(xué)生可以走讀，因交通便利，所以走讀生人數(shù)很多.該校學(xué)生會(huì)先后5次對(duì)走讀生的午休情況作了統(tǒng)計(jì)，得到如下資料：
①
若把家到學(xué)校的距離分為五個(gè)區(qū)間：
，則調(diào)查數(shù)據(jù)表明午休的走讀生分布在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的頻率相對(duì)穩(wěn)定，得到了如右圖所示的頻率分布直方圖；
② 走讀生是否午休與下午開(kāi)始上課的時(shí)間有著密切的關(guān)系. 下表是根據(jù)5次調(diào)查數(shù)據(jù)得到的下午開(kāi)始上課時(shí)間與平均每天午休的走讀生人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表.
下午開(kāi)始上課時(shí)間
1：30
1：40
1：50
2：00
2：10
平均每天午休人數(shù)
250
350
500
650
750
（Ⅰ）若隨機(jī)地調(diào)查一位午休的走讀生，其家到學(xué)校的路程(單位：里)在
的概率是多少？
（Ⅱ）如果把下午開(kāi)始上課時(shí)間1：30作為橫坐標(biāo)0，然后上課時(shí)間每推遲10分鐘，橫坐標(biāo)x增加1，并以平均每天午休人數(shù)作為縱坐標(biāo)y，試根據(jù)表中的5列數(shù)據(jù)求平均每天午休人數(shù)
與上課時(shí)間x之間的線性回歸方程
；
（Ⅲ）預(yù)測(cè)當(dāng)下午上課時(shí)間推遲到2：20時(shí)，家距學(xué)校的路程在6里路以上的走讀生中約有多少人午休？
解答：（Ⅰ）
…………………………………………………4分
（Ⅱ）根據(jù)題意，可得如下表格：
x
0
1
2
3
4
y
250
350
500
650
750
則
所以
………8分
再由
，得
，故所求線性回歸方程為
……………………10分
（Ⅲ）下午上課時(shí)間推遲到2：20時(shí)，
，
，
此時(shí)，家距學(xué)校的路程在6里路以上的走讀生中約有133人（134人）……………………14分
17．(本小題滿分14分)如圖甲，在直角梯形
中，
，
，
，是
的中點(diǎn). 現(xiàn)沿
把平面
折起，使得
（如圖乙所示），
、
分別為
、
邊的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：
平面；
（Ⅱ）求證：平面
平面
；
（Ⅲ）在
上找一點(diǎn)
，使得
平面.
解答：（Ⅰ）證：因?yàn)镻A⊥AD,PA⊥AB,
，所以平面……………4分
（Ⅱ）證：因?yàn)?sub>
,A是PB的中點(diǎn)，所以ABCD是矩形，又E為BC邊的中點(diǎn)，所以AE⊥ED。又由平面,得
,且
,所以
平面
，而
平面，故平面
平面…………………………………………………………9分
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)作
∥交
于
，再過(guò)作
∥
交于,連結(jié)
。
由∥,平面
,得∥平面；
由∥，
平面，得∥平面，
又
，所以平面
∥平面……………………………………………12分
再分別取、的中點(diǎn)
、
，連結(jié)
、
，易知是
的中點(diǎn)，是
的中點(diǎn)，從而當(dāng)點(diǎn)滿足
時(shí)，有平面�！�14分
18．(本小題滿分16分)
已知圓
，相互垂直的兩條直線
、
都過(guò)點(diǎn)
.
（Ⅰ）若、都和圓
相切，求直線、的方程；
（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)，若圓心為
的圓和圓外切且與直線、都相切，求圓的方程；
（Ⅲ）當(dāng)
時(shí)，求、被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值.
解答：（Ⅰ）顯然，
、
的斜率都是存在的，設(shè)
，則
……………………………………………………………………………………………1分
則由題意，得
，
………………………………………………3分
解得
且
，即
且
……………………………5分
∴、的方程分別為
與
或
與
……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為
，易知圓心到點(diǎn)
的距離為
，
∴
………………………………………………………9分
解得
且
，∴圓的方程為
………………………11分
（Ⅲ）當(dāng)
時(shí)，設(shè)圓的圓心為，、被圓所截得弦的中點(diǎn)分別為
，弦長(zhǎng)分別為
，因?yàn)樗倪呅?sub>
是矩形，所以
,即
，化簡(jiǎn)得
…………………………………14分
從而
，
即、被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值為
…………………………………16分
19．(本小題滿分16分)
設(shè)函數(shù)
.
（Ⅰ）求證：當(dāng)
時(shí)，
；
（Ⅱ）存在，使得
成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）若
對(duì)恒成立，求
的取值范圍．
解答：（Ⅰ）解答：(Ⅰ)因?yàn)楫?dāng)
時(shí)，
，
所以
在
上單調(diào)遞減，………………………………………………………3分
又
，所以當(dāng)時(shí)，
……………………………………………4分
(Ⅱ) 因?yàn)?sub>
，所以
，
由(Ⅰ)知，當(dāng)時(shí)，
，所以
………………………6分
所以
在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，
………………………8分
由題意知，在上有解，所以
，從而
………………………10分
（Ⅲ）由
得
對(duì)恒成立，
①當(dāng)
時(shí)，不等式顯然成立………………………………………………………11分
②當(dāng)
時(shí)，因?yàn)?sub>
，所以取
，則有
，從而此時(shí)不等式不恒成立…………………………………………………………………………12分
③當(dāng)
時(shí)，由(Ⅱ)可知
在上單調(diào)遞減，而
，
∴
， ∴
成立………………………………………14分
④當(dāng)
時(shí)，當(dāng)時(shí)，
，則
，∴
不成立，
綜上所述，當(dāng)
或
時(shí)，有對(duì)恒成立。
………………………………………………………………………………………………16分
20．(本小題滿分16分)
數(shù)列
滿足
.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)
為某等差數(shù)列的第1項(xiàng)，第
項(xiàng)，第+7項(xiàng)，且
，求
與；
（Ⅲ）求證：數(shù)列
中能抽取出一個(gè)子數(shù)列成等比數(shù)列
的充要條件是為有理數(shù).
解答：（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，
，∴
……2分
當(dāng)
時(shí)，
，∴
…………………………………………4分
∴
…………………………………………5分
（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)，
，則該等差數(shù)列的公差為
，∴
，
即
①
又，所以
，即
②
由①知，為整數(shù)或分母為7的既約分?jǐn)?shù)；由②知，為整數(shù)或分母為2的既約分?jǐn)?shù)，從而必為整數(shù)………………………………………………………………………7分
由②知，
，結(jié)合①得，
，所以
只能取7，故
，………8分
又由②得，
，設(shè)
則
，
因?yàn)?sub>
所以當(dāng)
時(shí)，
，又
，
從而
，故
在
上單調(diào)遞增。
則由
，知
在上無(wú)解…………………………10分
又
，
，
，
所以
或
，
綜上所述，當(dāng)，且或時(shí)滿足條件……………………………………………11分
（Ⅲ）①必要性。若中存在一個(gè)子數(shù)列
成等比數(shù)列，設(shè)
為其中的連續(xù)三項(xiàng)。因?yàn)?sub>
，所以
，則
……………………………………………………12分
⑴當(dāng)
時(shí)，
，即
，則
，矛盾；
⑵當(dāng)
時(shí)，
，則
，所以必要性成立………………13分
②充分性。若為有理數(shù)，因?yàn)?sub>，所以可取足夠大的正整數(shù)
，使
，因?yàn)?sub>
也為有理數(shù)，故可設(shè)
（其中
為互質(zhì)正整數(shù)）。
現(xiàn)構(gòu)造等比數(shù)列，使得首項(xiàng)
，公比
，則
…………………………………………14分
因?yàn)?sub>
，
所以
，
從而
，
設(shè)
，則為正整數(shù)，
則
，故
必為中的項(xiàng)，即等比數(shù)列是的子數(shù)列，所以充分性也成立。
綜合①②知，原命題成立。……………………………………………………………………16分
數(shù)學(xué)附加題
21．[選做題] 在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計(jì)20分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).
A.（選修4―1：幾何證明選講）
如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓
，弧
弧，過(guò)A點(diǎn)的切線交CB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．
求證：
．
證：連結(jié)
,因?yàn)?sub>
切圓于，所以∠EAB＝∠ACB。
因?yàn)榛?sub>弧，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD，于是∠EAB＝∠ACD………………5分
又四邊形ABCD內(nèi)接于圓，所以∠ABE＝∠D，所以△ABE∽CDA.
于是
,即
，所以
…………………………10分
B．（選修4―2：矩陣與變換）
已知矩陣
,A的一個(gè)特征值
，其對(duì)應(yīng)的特征向量是
.
（Ⅰ）求矩陣
；
（Ⅱ）若向量
，計(jì)算
的值.
解：（Ⅰ）
……………………………………………………………3分
（Ⅱ）矩陣A的特征多項(xiàng)式為
，
解得
……………………………………………………………6分
當(dāng)
時(shí)，得
；當(dāng)
時(shí)，得
，
由
，得
，得
…………………………………8分
∴
…………………………………………………10分
C．（選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知某圓的極坐標(biāo)方程為ρ2 －4ρcos(θ－)＋6=0．
（Ⅰ）將極坐標(biāo)方程化為普通方程，并選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出它的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)
在該圓上，求
的最大值和最小值．
解答：（Ⅰ）
；
（
為參數(shù)）……………5分
（Ⅱ）因?yàn)?sub>
，所以其最大值為6，最小值為2……………10分
D.（選修4―5：不等式選講）
設(shè)均為正實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）若
，求
的最小值；
（Ⅱ）求證：
.
解答：（Ⅰ）解：因?yàn)?sub>均為正實(shí)數(shù)，由柯西不等式得
，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立，∴
的最小值為
………………………………………………5分
（Ⅱ）∵均為正實(shí)數(shù)，∴
，當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立；
則
，當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立；
，當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立；
三個(gè)不等式相加得，
，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立。
……………………………………………………………………10分
[必做題] 第22、23題,每小題10分,計(jì)20分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).
22．（本小題滿分10分）
如圖所示，已知曲線
，曲線 
與
關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱，且曲線與交于點(diǎn)O、A，直線
與曲線、、
軸分別交于點(diǎn)
、
、，連結(jié).
（Ⅰ）求曲邊三角形
（陰影部分）的面積
;
（Ⅱ）求曲邊三角形
（陰影部分）的面積
.
解答：（Ⅰ）易得曲線
的方程為
…………………………………………2分
由
，得點(diǎn)
，又由已知得
………………4分
故
………………………………………6分
（Ⅱ）
………………………10分
23． (本小題滿分10分)
已知為等差數(shù)列，且
，公差
.
（Ⅰ）試證：
；
；
；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中的幾個(gè)等式，試歸納出更一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答：（Ⅰ）略……………………………………………………………………3分
（Ⅱ）結(jié)論：
………………………5分
證：①當(dāng)
時(shí)，等式成立，
②假設(shè)當(dāng)
時(shí)，
成立，
那么當(dāng)
時(shí)，因?yàn)?sub>
，所以
，
所以，當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立。
綜合①②知，對(duì)
都成立…………10分
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