遼寧省鞍山一中2009屆高三年級(jí)第五次模擬考試
數(shù)學(xué)試題（理科）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）
1．函數(shù)的周期、振幅依次是 （ ）
A． B． C． D．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第（ ）象限 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．經(jīng)過(guò)對(duì)K2統(tǒng)計(jì)量的研究，得到若干個(gè)臨界值，當(dāng)時(shí)，我們認(rèn)為事件A與B
（ ）
A．有95%的把握認(rèn)為A與B有關(guān)
B．有99%的把握認(rèn)為A與B有關(guān)系
C．沒(méi)有充分理由說(shuō)明事件A與B有關(guān)系
D．不能確定
4．已知的展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于
（ ）
A．15 B．―15 C．20 D．―20
5．已知實(shí)數(shù)列等于 （ ）
A．―4 B．4 C． D．
6．若動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，1）和直線l：的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．直線
7．甲、乙、丙3位學(xué)生用計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，每天上課后獨(dú)立完成檢測(cè)題，甲答及格的概率為，乙答及格的概率為，丙答及格的概率為，3人各答一次，則3人中只有1人答及格的概率為 （ ）
A． B． C． D．以上全不對(duì)
A．鈍角三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．任意三角形
10．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線右支上，且|PF1|=4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為 （ ）
A． B． C．2 D．
第二串掛著3個(gè)小球，第三串掛著4個(gè)小球�，F(xiàn)在射擊小
球，射擊規(guī)則是：下面小球被擊中后方可以射擊上面的小
球。若小球A恰好在第五次射擊時(shí)被擊中，小球B恰好在
第六次射擊時(shí)被擊中（假設(shè)每次都擊中小球），則這9個(gè)小
球全部被擊中的情形有 （ ）
A．36種 B．72種
C．108種 D．144種
12．設(shè)不等式的取值范圍是 （ ）
A． B．
C． D．
13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 。
14．一個(gè)袋子里裝有大小相同的5個(gè)白球和5個(gè)黑球，
從中任取4個(gè)，則所含白球個(gè)數(shù)的期望是 。
15．一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的
表面積是 。
16．在等邊三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則A，B，C中至少存在一點(diǎn)與P的距離不大于三角形邊長(zhǎng)的一半時(shí)的概率是 。
三、解答題：（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。）
17．（本小題滿分12分）
已知向量
（1）求上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若的值。
18．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列
證明：①是等比數(shù)列；②
19．（本小題滿分12分）
已知梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEF⊥平面EBCF（如圖）
（1）求證：BD⊥EG；
（2）求EG與平面ABCD所成的角；
（3）求二面角B―DC―F的余弦值。
20．（本小題滿分12分）
已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于；
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P為橢圓C上一點(diǎn)，弦PA，PB分別過(guò)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)取到極大值。
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）已知；求證：對(duì)任意
（3）已知正數(shù)
求證：當(dāng)都有
22．選做題：在A，B，C三小題中只能選作一道題（本小題滿分10分）
A：選修4―1：幾何證明選講
如圖，當(dāng)△ABC內(nèi)角都小于120°時(shí)（使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點(diǎn)P被稱為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)），由△ABC的一邊BC向外作正三角形BCD，然后作這個(gè)正三角形的外接圓，連結(jié)AD交該圓于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。
B：選修4―4：參數(shù)方程與極坐標(biāo)
如圖，AB是半徑為1的圓的一條直徑，C是此圓上任一點(diǎn)，作射線AC，在AC上存在點(diǎn)P，使AP?AC=1，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P在你所建立的坐標(biāo)系下的方程。
C：選修4―5：不等式證明選講
已知：
選擇題：
1―5 ACCAC 6―10 DCBBB 11―12 BC
填空題：
13．[1，2]遞增，遞增 14．2 15．3 16．
解答題：
17．解：①
②若
18．解：①
②公比為2的等比數(shù)列。
19．解：建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
（1）
…………2分
（2）設(shè)面ABCD的法向量為即
………………6分
∴EG和平面ABCD所成的角為30° ………………8分
（3）設(shè)平面DFC的法向量為
………………10分
∴二面角B―DC―F的余弦值為0 ………………12分
20．（1）設(shè)橢圓C的方程為
…………4分
（2）證明：設(shè)
①PA，PB都不與x軸垂直，且
②PA或PB與x軸垂直或 ………………12分
21．解：（1）
（2）令
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證。
①當(dāng)
由（2）得
②當(dāng)
22．解：由于△BCD是正三角形，且B、D、C、Q四點(diǎn)共圓，所以∠BQD=∠BCD=60°
則∠AQB=180°―∠BAD=120°，同理得∠CQA=120°
又Q點(diǎn)Q在△ABC的內(nèi)部，∴點(diǎn)Q就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。
解：以A為極點(diǎn)，AB所在直線為極軸，建立極坐標(biāo)系。
w.w.w.k.s.5.u.
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