高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)--歸納―猜想―證明
（一）知識歸納：
由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般結(jié)論，這種方法人們稱為“不完全歸納法”，用不完全歸納法得出的結(jié)論需要經(jīng)過證明，因此全部過程可以小結(jié)為下面程序：
①計算命題取特殊值時的結(jié)論；②對這些結(jié)果進行分析，探索數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，并猜想命題的一般結(jié)論；③證明所猜想的結(jié)論.
（二）學(xué)習(xí)要點：
在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，“歸納―猜想―證明”的推理方法一般只局限于數(shù)列的內(nèi)容，而且與正整數(shù)n有關(guān)，其它內(nèi)容中很少有要求，解決問題時要注意以下幾點，①計算特例時，不僅僅是簡單的算數(shù)過程，有時要通過計算過程發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律；②猜想必須準確，絕對不能猜錯，否則將徒勞無功；③如果猜想出來的結(jié)論與正整數(shù)n有關(guān)，一般用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【例1】已知數(shù)列
滿足關(guān)系式
N+），
（Ⅰ）用a表法a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想an的表達式（用a和n表示），并證明你的結(jié)論.
[解析]（Ⅰ）
（Ⅱ）（
） 猜想
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°．當n=1時，
當n=1結(jié)論正確；
2°．假設(shè)當n=k時結(jié)論正確，即
，
∴當n=k+1時 
=
當n=k+1時結(jié)論也正確；
根據(jù)1°與2°命題對一切n∈N*都正確.
[評析]“歸納―猜想―證明”是解決數(shù)列的某些問題的一種重要方法，對于一些變換技巧比較高的問題，如果能通過這種方法解答成功，則解答過程比較其它方法更容易.
【例2】已知數(shù)列滿足：
計算a2，a3，a4的值，由此歸納出an的公式，并證明你的結(jié)論.
[解析]很容易算出a2=5，a3=16，a4=44，但由此猜想出結(jié)論顯然是非常困難的，下面作一些探索.
∵a2=2 a1+3×2°=2×1+3×2°，
a3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21，
a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；
猜想an=2n－1+（n－1）×3×2n－2=2n－2（3n－1）；
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°．當n=1時，a1=2－1×=1，結(jié)論正確；
2°．假設(shè)n=k時，ak=2k－2（3k－1）正確，
∴當n=k+1時，
=
結(jié)論正確；
由1°、2°知對n∈N*有
[評析]如果計算出來的數(shù)據(jù)很難猜出結(jié)論時，應(yīng)考慮整理計算過程，探索數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，看看能否猜想成功.
【例3】已知等差數(shù)列中，a2=8，前10項的和S10=185，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式an；
（Ⅱ）若從數(shù)列中依次取出第2，4，8，…，2n，…項，按原來的順序排成一個新數(shù)列，試求新數(shù)列的前n項和An；
（Ⅲ）設(shè) Bn=n（5+3 an），試比較An和Bn的大小，并說明理由.
[解析]（Ⅰ）設(shè)公差為d，∴
（Ⅱ）設(shè)新數(shù)列為
，∴
∴An=3×（2+22+23+…+2n）+2n=3×2n＋1+2n－6；
（Ⅲ）∵
A4=3×32+2=98，A5=3×64+4=196，A6=3×128+6=390，A7=3×256+8=776，……
而B1=20，B2=58，B3=114，B4=188，B5=280，B6=390，B7=518，……
①當n=1，2，3，4，5時，Bn>An；
②當n=6時，B6=A6；
③當n≥7，且n∈N*時，猜想An>Bn，用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°．當n=7時，A7=766>518=B7，結(jié)論正確；
2°．假設(shè)當n=k（k≥7）時，Ak>Bk，即3×2k+1+2k－6>9k2+11k
2k+1>3k2+3k+2，
∴n=k+1時，
=6×2 k+2－9k2－27k－24
=6×[2 k+1－（3k2+3k+2）]+6×（3k2+3k+2）－9k2－27k－24
=6×[2 k+1－（3k2+3k+2）]+9k2－9k－12
>9k2－9k－12=9k（k－1）－12≥9×7×（7－1）－12>0
∴Ak+1>Bk+1，即n=k+1時，結(jié)論也正確；
根據(jù)1°、2°知當n≥7且n∈N*時，有An>Bn.
[評析]從上面例子可以看出，歸納猜想不僅僅是要有對數(shù)據(jù)的觀察能力，還需要有一定的經(jīng)驗，否則很難作出上述準確的猜想.
【例4】已知數(shù)列滿足：
問是否存在常數(shù)p、q，使得對一切n∈N*都有
并說明理由.
[解析] ∵
設(shè)存在這樣的常數(shù)p、q，
∴
由此猜想，對n∈N*，有
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論：
1°．當n=1時，
，結(jié)論正確；
2°．假設(shè)當n=k時結(jié)論正確，即
∴當n=k+1時，
∴當n=k+1時結(jié)論正確，故當n∈N*時，
成立.
[評析]例4是一類探索題型，由條件直接推出結(jié)論是非常困難的，通過歸納―猜想―證明的方法，難度不大.
《訓(xùn)練題》
一、選擇題
1． 已知數(shù)列
的前n項和
，而
，通過計算
猜想
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知數(shù)列的通項公式
N*），記
，
通過計算
的值，由此猜想
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．數(shù)列中，a1=1，Sn表示前n項和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數(shù)列，通過計算S1，S2，
S3，猜想Sn= （ ）
A．
B．
C．
D．1－
4．已知a1=1，
然后猜想
（ ）
A．n B．n2 C．n3 D．
5．設(shè)
已知
則猜想 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．從一樓到二樓的樓梯共有n級臺階，每步只能跨上1級或2級，走完這n級臺階共有
種走法，則下面的猜想正確的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題：
7．已知數(shù)列中，
通過計算然后猜想
8．在數(shù)列中，
通過計算然后猜想
9．設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，已知Sn=2n－an（n∈N+），通過計算數(shù)列的前四項，猜想
10．已知函數(shù)
記數(shù)列的前n項和為Sn，且
時，
則通過計算
的值，猜想的通項公式
三、解答題
11．是否存在常數(shù)a，b，c，使等式
N+都成立，并證明你的結(jié)論.
12．已知數(shù)列的各項為正數(shù)，其前n項和為Sn，又
滿足關(guān)系式：
，試求的通項公式.
13．已知數(shù)列的各項為正數(shù)，Sn為前n項和，且
，歸納出an的公式，并證明你的結(jié)論.
14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，
設(shè)
N+），
N+），問Pn與Qn哪一個大？證明你的結(jié)論.
15．已知數(shù)列：
N* 
（Ⅰ）歸納出an的公式，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求證：
答案與解析
一、1.B 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A
二、7．
8．n！ 9． 10．n+1
11．令n=1得
①， 令n=2得
②，
令n=3得
③， 解①、②、③得a=3，b=11，c=10，記原式的左邊為Sn，用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想
（證明略）
12．計算得
猜測
，用數(shù)學(xué)歸納法證明（證明略）.
13．∵
∵
，…，猜想
N*）.用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）.
14．∵
∴
計算得①
當1≤n≤3時，Pn<Qn；②猜想n≥4時Pn＞Qn，用數(shù)學(xué)歸納法證明，即證：當n≥4時
時用比較法證）
15．（Ⅰ）∵
,…，猜測
，數(shù)學(xué)歸納法證明（略）.
（Ⅱ）∵
∴
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