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例1：(08四川延考)已知，為空間中一點(diǎn)，且，則直線與平面所成角的正弦值為         .

【解析】由對稱性點(diǎn)在平面內(nèi)的射影必在的平分線上作于，連結(jié)_，則由三垂線定理，

設(shè)，則，，

_又,

所以，因此直線與平面所成角的正弦值_.

例2.（08年江蘇）若，，則的最大值為          .

【解析】由于是定值，為求其面積的最大值，只須求出頂點(diǎn)到邊的距離的最大值即可．而，說明點(diǎn)是運(yùn)動變化的，那么它的軌跡是什么呢？到此我們的思維“進(jìn)入了”解析幾何的領(lǐng)域.

如圖1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由題意不妨設(shè)點(diǎn) 在第一象限（），則由，得，即.

∴當(dāng)時，，此時，

所以的最大值為.

【點(diǎn)評】本題直接用“形”有一定的難度，若利用“數(shù)”運(yùn)算，建立直角坐標(biāo)系求解，則問題利于解決．這正好體現(xiàn)出“數(shù)形結(jié)合”思想，也進(jìn)一步驗(yàn)證了華羅庚教授的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”的數(shù)學(xué)思維典語．

一個結(jié)論在一般情形下成立，在特殊情形下必成立。填空題只要結(jié)果，不要過程，所以當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可將填空題中的一般情形特殊化（將圖形、圖形的位置特殊化或給字母賦于特殊值等)再求解，這種解填空題的方法， 叫特殊化法。凡在一般情形下探求結(jié)論的填空題，都可用特例法。 

例3.（07年海南、寧夏）一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為，，，則___________.

【解析】由于所求的為定值，所以可將三棱柱特殊化為直三棱柱.又三棱錐、四棱錐的底面邊長和側(cè)棱都相等，所以取三棱柱為各棱長都相等的正三棱柱.

設(shè)正三棱柱的各棱長為，則，，

∴.

例4.（07年江西）已知數(shù)列對于任意，有，若，則                             ．

【解析】由題意，得，，，，，∴，從而應(yīng)當(dāng)填.

【點(diǎn)評】我們知道，在中，取，得；取，得，等等．這種取特殊值的方法，顯示是由一般到特殊的思維方式．事實(shí)上，本題的數(shù)列當(dāng)中，隱含了子數(shù)列是等比數(shù)列，你能寫出一般的通項(xiàng)公式嗎？

例5.（08年全國Ⅰ）在中，，．若以，為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率           ．

【解析】設(shè)，，則顯然半焦距，.

∵，∴.

由橢圓定義，得，∴，

故.

【點(diǎn)評】本題以三角形為載體考查橢圓的有關(guān)知識，一般先設(shè)，由求出(中含有參數(shù))，然后利用橢圓的概念即可求出離心率，這屬常規(guī)解法．本解答取，，解題思路與常規(guī)方法一樣，但是由于將

取成常數(shù)，計算量降低了，這種解題方法屬賦特殊值法，在一定程度上能夠簡化運(yùn)算，在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)該重視這種解題方法．

合理猜想，可以從特殊情形中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出一般的正確結(jié)論. 合理猜想法多用于探索規(guī)律的一類題.

例6.(08年湖北)觀察下列等式：

……………………………………

可以推測，當(dāng)（）時，，，__________，           .

【解析】觀察各個等式右邊最高次項(xiàng)的系數(shù)為：，，，，……，；各個等式右邊次高次項(xiàng)的系數(shù)為：，，，，……，；第三高次項(xiàng)的系數(shù)為：，( )，

（），( )，……，歸納得出；各個等式右邊第四高次項(xiàng)的系數(shù)為：，，，，……，歸納得出.

【點(diǎn)評】此題著重考查學(xué)生的觀察、歸納、猜測能力以及思維的敏捷性、靈活性．它要求學(xué)生善于根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，從眾多的數(shù)學(xué)信息中提取、挖掘出有效的信息，靈活地運(yùn)用有關(guān)的知識，映襯出相應(yīng)的意象，找出有效的突破口，從而挖掘規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律．

例7.(08年北京)某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第棵樹種植在點(diǎn)處，其中，，當(dāng)時，

表示非負(fù)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如，.按此方案，第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為________；第2008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為________．

【解析】①當(dāng)時,,則,解得；

②當(dāng)時,,，則,解得；

③當(dāng)時,,則,解得；

④當(dāng)時,,，則,解得；

…………，如此類推。如通過觀察、歸納總結(jié)得出一般的規(guī)律為：

當(dāng)（）時，第棵樹種植在點(diǎn)為，于是當(dāng)時，，從而第2008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為.

【點(diǎn)評】此題是將周期數(shù)列加以變更、遷移、整合而成，有創(chuàng)意，有新意，給學(xué)生探索問題提供了廣闊的空間和自由度，特別對學(xué)生觀察、歸納、猜測、綜合分析等能力以及耐心、毅力得到全面的考查，有利于甄別學(xué)生的思維層次和數(shù)學(xué)素養(yǎng) ．本題要求學(xué)生善于根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，從眾多的信息中提取、挖掘出有效的信息，從而找出問題的切入點(diǎn)，開啟成功之門．

根據(jù)試題的特點(diǎn)，找出其幾何意義，畫出符合題意的輔助圖形，借助圖形的直觀性進(jìn)行分析探究，得出正確結(jié)論.這是一種數(shù)形結(jié)合的解題策略，在填空題中有著廣泛的應(yīng)用.

例8.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的最大值為________.

【解析】由已知得，∴.

在坐標(biāo)系中分別作出直線，，得可行域及兩直線的交點(diǎn).設(shè)目標(biāo)函數(shù)，作直線：，當(dāng)平移直線經(jīng)過點(diǎn)時，有最大值5，即的最大值為5，選B.

【點(diǎn)評】若試題給出的是單純的線性規(guī)劃問題，則百味全無.而命題者悄悄地將換成，同學(xué)們在解題過程中必須看透這一伎倆，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，頓覺簡單異常.本題設(shè)計遵循基礎(chǔ)與能力并重，知識與能力并舉的原則，意在考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式以及不等式性質(zhì)等知識,但實(shí)在考查數(shù)形結(jié)合的思想方法．

【總結(jié)提煉】綜上，我們主要介紹了填空題幾種常見的解法，當(dāng)然解法會很多，所以我們要在平時注意發(fā)現(xiàn)、探索、總結(jié)，小題終究是小題，只要多思考，多挖掘新方法、巧方法，那我們解題時才有事半功倍的效果.

3.跟蹤練習(xí)：

1.設(shè)是和的等比中項(xiàng)，則的最大值為__________.

2.函數(shù)在上的最大值為_____________.

3.已知函數(shù)（）的圖象過點(diǎn)，若有4個不同的正數(shù)滿足，且（），則_________.

4.若、滿足條件（），則的最大值為__                                                                                                                                           

5.有20張卡片上分別寫有數(shù)字1 ，2 ，……，20 ，將它們放入一個盒子內(nèi). 有4 個人從中不放回地各抽取一張卡片，抽到兩個較小數(shù)字的兩人在同一組，抽到兩個較大數(shù)字的兩人在同一組. 現(xiàn)其中有兩人抽到5、14 ，則此兩人在同一組的概率等于__________(用最簡分?jǐn)?shù)作答).

6.已知三個正數(shù)，，滿足條件，則的最小值為______.