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1.已知函數y=f(x)=x²+1,則在x=2,Δx=0.1時,Δy的值為(    )

A.0.40         B.0.41           C.0.43           D.0.44

分析 本題主要考查如何求函數的增量.

解 由函數值的增量公式Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀),

得Δy=f(2+0.1)-f(2)=(2+0.1)²+1-(2²+1)=0.41.

答案 B

2.若曲線y=f(x)在點(x₀,f(x₀))處的切線方程為2x+y+1=0,則(   )

A.f′(x₀)>0          B.f′(x₀)=0

C.f′(x₀)<0          D.f′(x₀)不存在

分析 本題考查導數的幾何意義.曲線在點x=x₀處的導數,即為切線的斜率.

解 切線的方程為2x+y+1=0,即y=-2x-1,

斜率為-2,故曲線在x=x₀處的導數為-2,

即f′(x₀)=-2<0.

答案 C

3.設函數f(x)在點x₀附近有定義,且有f(x₀+Δx)-f(x₀)=aΔx+b(Δx)²(a、b為常數),則(    )

A.f′(x)=a               B.f′(x)=b

C.f′(x₀)=a              D.f′(x₀)=b

分析 本題主要考查導數的概念.

解 ∵f(x₀+Δx)-f(x₀)=aΔx+b(Δx)²(a、b為常數),

∴f′(x₀)=

=(a+bΔx)=a.

答案 C

4.★一個距地心距離為r,質量為m的人造衛(wèi)星,與地球之間的萬有引力F由公式F=給出,其中M為地球質量,G為常量.則F對于r的瞬時變化率是(   )

A.           B.            C.           D.

分析 本題考查常見函數的導數.

解法一 ∵F==,

∴F′=-2GMmr^-3=-.

解法二 ∵F=,

∴F′=

答案 D

5.函數y=xcosx-sinx的導數為(    )

A.xsinx              B.-xsinx              C.xcosx            D.-xcosx

分析 本題主要考查兩個函數的差的導數的運算法則,即兩個函數差的導數等于它們的導數的差.

解 y′=(xcosx)′-(sinx)′=x′cosx+x(cosx)′-cosx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

答案 B

6.已知函數y=f(x)在點(2,1)處的切線與直線3x-y-2=0平行,則y′｜_x=2等于(   )

A.-3           B.-1           C.3          D.1

分析 本題主要考查導數的幾何意義,即函數y=f(x)在點(x₀,f(x₀))處的切線的斜率是y=f′(x₀).

解 ∵函數在點(2,1)處的切線的斜率等于直線3x-y-2=0的斜率,∴y′|_x=2=3.

答案 C

7.設f(x)=(x≠-1),則f′(x)等于(    )

A.3x²-2x+1                B.3x²+2x+1

C.3x²-2x-1                 D.x²-2x+1

分析 本題主要考查積、商函數的導數.可直接求導,也可先將函數變形,化成更便于求導的形式求導,這樣可減少運算量.

解法一 f′(x)=

=

=

=

=3x²-2x-1.

解法二 ∵f(x)==(x+1)(x-1)²=x³-x²-x+1,

∴f′(x)=3x²-2x-1.

答案 C

8.函數y=sin2x在點M()處的切線斜率為(   )

A.-1         B.-2          C.1         D.2

分析 本題主要考查復合函數的導數及導數的幾何意義.

解∵y′=(sin2x)′=cos2x(2x)′=2cos2x,

∴=2cos(2×)=1.

答案 C

9.★設函數f(x)=1-e^x的圖象與x軸相交于點P,則曲線在點P處的切線的方程為(   )

A.y=-x        B.y=x       C.y=ex          D.y=-ex

分析 本題考查常見函數的導數及導數的幾何意義.

解 令1-e^x=0,得x=0,∴P(0,0).

∵f(x)=1-e^x,∴f′(x)=-e^x.

∴f′(x)|_x=0=-e⁰=-1.

∴過點P(0,0),斜率為-1的直線方程是y=-x.

答案 A

10.若曲線y=x²-1與y=1-x³在x=x₀處的切線互相垂直,則x₀等于(   )

A.           B.-           C.          D.或0

分析 本題主要考查導數的幾何意義及兩直線垂直的位置關系,即若兩直線的斜率都存在,則它們垂直的條件是斜率的乘積等于-1.

解 因為兩直線垂直且導數都存在且分別為y′=2x,y′=-3x²,

所以(2x)?(-3x²)=-1,

即x=.

答案 A

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.曲線y=2x³-x+2在點(1,3)處的切線方程是          .

分析　本題考查導數的應用及其幾何意義.

解　∵y=2x³-x+2,∴y′=6x²-1.

當x=1時,y′=6-1=5,∴直線的斜率為5,且過點(1,3).

∴直線方程為y-3=5(x-1),即5x-y-2=0.

答案　5x-y-2=0

12.某汽車啟動階段的路程函數為s(t)=2t³-5t²,則t=2秒時,汽車的瞬時速度是          .

分析 本題考查導數的物理意義,即瞬時速度是位移函數s(t)對時間t的導數.

解 ∵s(t)=2t³-5t²,∴s′(t)=6t²-10t.

∴s′(t)|_t=2=6×2²-10×2=4.

答案 4

13.若曲線y=-x³+3與直線y=-6x+b相切,則b為         .

分析 本題考查導數的幾何意義.關鍵是確定曲線上哪一點的導數等于-6.

解 y′=-3x².

令y′=-3x²=-6,得x=±.

把x=代入曲線方程中,得y=3-2.

把x=-代入曲線方程中,得y=3+2.

因為曲線與直線y=-6x+b相切,

所以切點也在直線y=-6x+b上.

分別把(,3-2)、(-,3+2)代入直線方程中,得b₁=3+4,b₂=3-4.

答案　3±4

14.★若f′(x₀)=1,則             .

分析 本題考查導數的定義及極限的運算法則.根據導數的定義式,把原式進行一系列變形,湊定義式的結構形式.至于用什么字母或符號表示自變量增量無關緊要.

解

答案

15.(本小題滿分8分)設函數f(x)=ax³+3x²+2,若f′(-1)=4,試求a的值.

分析 本題考查利用導數求參數的值.解題的關鍵是利用導數會列參數的方程.

解 ∵f(x)=ax³+3x²+2,

∴f′(x)=(ax³)′+(3x²)′   2分

=3ax²+6x.                4分

∵f′(-1)=4,∴3a-6=4.      6分

∴a=.                 8分

16.(本小題滿分8分)假設某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為5%,物價p(單位:元)與時間t(單位:年)有如下函數關系:p(t)=p₀(1+5%)^t,其中p₀為t=0時的物價.假定某種商品的p₀=1,那么在第10個年頭,這種商品的價格上漲的速度大約是多少?(精確到0.01)

分析 本題考查指數函數的導數及導數的實際意義.

解 ∵p₀=1,∴p(t)=1.05^t.                                        2分

根據基本初等函數的導數公式,有p′(t)=1.05^tln1.05.               4分

∴p′(10)=1.05¹⁰ln1.05≈0.08(元/年).                            7分

因此,在第10個年頭,這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲.    8分

17.(本小題滿分8分)求函數y=(+1)(-1)的導數.

分析 本題主要考查函數的和、差、積的導數,培養(yǎng)靈活地處理問題的能力.可以整體運用u?v型求導公式,也可先把函數式展開變形后再求導.做一做,比較一下.

解法一 ∵y=(+1)(-1),

∴y′=(+1)′(-1)+(+1)(-1)′  3分

=(-1)-(+1)              5分

=-(1+).                            8分

解法二 ∵y=(+1)(-1)=+,

∴y′=-=

18.★(本小題滿分10分)已知拋物線y=ax²+bx+c通過點(1,1),且在點(2,-1)處與直線y=x-3相切,求a、b、c的值.

分析 本題考查導數的幾何意義.函數在x=2處的導數等于直線y=x-3的斜率.由題意構造出關于a、b、c的方程組,然后求解.

解 ∵f(1)=1,∴a+b+c=1.   ①   2分

又f′(x)=2ax+b,

∵f′(2)=1,∴4a+b=1    . ②   3分

又切點(2,-1),∴4a+2b+c=-1.③   6分

把①②③聯立得方程組

解得            9分

即a=3,b=-11,c=9.           10分

19.(本小題滿分10分)設試討論當a、b為何值時,f(x)在x=1處可導.

分析 本題考查分段函數在接點處的導數.需依據導數的定義,分別求解此函數在接點處的左導數與右導數.

解 要使f(x)在x=1處可導,則f(x)在x=1處必連續(xù),則+f(x)=f(1),即a+b=1.        2分

又若存在,則當x=1時,有=.                          5分

∵==(2+Δx)=2,

=　　　　　7分

∴b=2,a=-1,

即當a=-1,b=2時,函數f(x)在x=1處可導.　　　　　　10分