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1．復數的虛部為

A．-2                          B．2                            C．-2i                         D．2i

2．下列各選項中，與sin2008º最接近的是

A．                       B．                          C．                       D．

3．對平面α和異面直線l₁，l₂，下面四個命題中正確的是

A．若l₁α，則l₂與α相交

B．若l₁α，則l₂一定不垂直于α

C．若l₁⊥l₂，且l₁與α成45º的角，則l₂與α所成的最大角是45º

D．若直線l₁'，l₂'分別是l₁，l₂在α內的射影，則l₁'，l₂'是相交直線

4．已知a，b是非零向量，且，則向量的模為

A．                       B．                        C．2                      D．3

5．設實數a，b滿足a<b，a+b<0，ab>0，則下列不等式一定成立的是

A．                   B．                C．              D．

6．若對于任意實數x，有x³=a₀+a₁(3-x)+a₂(3-x)²+a₃(3-x)³，則a₀+a₂=

A．4                           B．10                          C．18                          D．36

7．已知：集合，集合H={(x，y)|x²+y²=2}，“命題：(x，y)∈G”是“命題：(x，y)∈H”的必要而不充分條件，則u的取值范圍是

A．u≤-2                    B．u≤2                      C．u≤-                D．u≤

8．已知lga<0，則函數的圖象是

A．                         B．                       C．                          D．

9．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是∠BAC=90º的等腰三角形，AB=AA₁=2，M是CC₁的中點，設三棱柱的外接球球心為O，則點O到面A₁B₁M的距離等于

A．                       B．                       C．                            D．

10．設F₁，F₂分別是橢圓（a>b>0）的左、右焦點，與直線y=b相切的⊙F₂交橢圓于點E，E恰好是直線EF₁與⊙F₂的切點，則橢圓的離心率為

A．                       B．                       C．                       D．

11．定義f (M)=(m，n，p)，其中M是△ABC內一點，m、n、p分別是△MBC、△MCA、△MAB的面積．已知△ABC中，，∠BAC=30º，f (N)=(，x，y)，則的最小值是

A．8                           B．9                            C．16                          D．18

12．若，n∈N*，且a₁、a₂、…、a_n∈{0，4}，則λ一定不屬于

A．                    B．                    C．                D．

綿陽市高中2008級第三次診斷性考試

數  學（理工類）

第Ⅱ卷（共90分）

注意事項：

1．用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷中．

2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚．

題號

二

三

總分

總分人

總 分

復查人

17

18

19

20

21

22

分數

得分

評卷人

13．函數（a>0）在x=-2處不連續(xù)，且存在，則a+b=__________．

14．今年“3?15”，某報社做了一次關于“手機垃圾短信”的調查，在A、B、C、D四個單位回收的問卷數依次成等差數列，共回收1000份．因報道需要，再從回收的問卷中按單位分層抽取容量為150的樣本．若在B單位抽30份，則在D單位抽取的問卷是_________份．

15．銳角△ABC中，A≥B，且tanA=3tanB，則A-B的最大值為__________．

16．已知α∈R，且α≠，k∈Z，設直線l：y= x tanα+m，其中m≠0．給出下列結論：

①l的傾斜角為arctan(tanα)；

②l的方向向量與向量a=(cosα，sinα)共線；

③l與直線xsinα-ycosα+n=0（n≠m）一定平行；

④若0<α<，則l與直線y=x的夾角為-α；

⑤若α≠kπ+，k∈Z，與l關于y=x對稱的直線l'與l互相垂直．

其中，真命題的編號是__________．（寫出所有真命題的編號）

得分

評卷人

17．（本題滿分12分）

若函數sin²x- sinxcosx (>0)的圖象與直線y=m相切，并且相鄰兩個切點的距離為．

（1）求，m的值：

（2）若將的圖象向右平移個單位后，所得的圖象C對應的函數g(x)恰好是偶函數，求最小正數，并求g(x)的單調遞增區(qū)間．

得分

評卷人

18．（本題滿分12分）

如圖，直二面角P-AD-C中，四邊形ABCD是∠BAD=120º的菱形，AB=2，PA⊥AD，E是CD的中點，設PC與平面ABCD所成的角為45º．

（1）求證：平面PAE平面PCD；

（2）試問在線段AB（不包括端點）上是否存在一點F，使得二面角A-PF-D的大小為45º？若存在，請求出AF的長，若不存在，請說明理由．

得分

評卷人

19．（本題滿分12分）

某社區(qū)舉辦北京奧運知識宣傳活動，現場的“抽卡有獎游戲”特別引人注目．游戲規(guī)則是：盒子中裝有8張形狀大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“奧運福娃”或“奧運會徽”．要求4人一組參加游戲，參加游戲的4人從盒子中輪流抽取卡片，一次抽2張，抽取后不放回，直到4人中的一人一次抽到2張“奧運福娃”卡才能得獎并終止游戲．

（1）游戲開始之前，一位高中生問：盒子中有幾張“奧運會徽”卡？主持人說：若從盒中任抽2張卡片不都是“奧運會徽”卡的概率為．請你回答有幾張“奧運會徽”卡呢？

（2）現有甲、乙、丙、丁4人參加游戲，約定甲、乙、丙、丁依次抽�。�用ξ表示4人中的某人獲獎終止游戲時總共抽取卡片的次數，求ξ的概率分布及ξ的數學期望．

得分

評卷人

20．（本題滿分12分）

下表給出的是由n×n（n≥3，n∈N*）個正數排成的n行n列數表，a_ij表示第i行第j列的一個數．表中第一列的數從上到下依次成等差數列，其公差為d．表中各行，每一行的數從左到右依次都成等比數列，且所有公比相等，公比為q，已知a₁₃=，a₂₃=，a₃₂=1．

a₁₁

a₁₂

a₁₃

…

a_1n

a₂₁

a₂₂

a₂₃

…

a_2n

a₃₁

a₃₂

a₃₃

…

a_3n

…

…

…

…

…

a_n1

a_n2

a_n3

…

a_nn

（1）求a₁₁，d，q的值；

（2）設表中對角線上的數a₁₁，a₂₂，a₃₃，…，a_nn組成的數列為{a_nn}，記T_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn，求使不等式2ⁿT_n<4ⁿ-n-43成立的最小正整數n．

得分

評卷人

21．（本題滿分12分）

O為坐標原點，A(x_A，y_A)和B(x_B，y_B)兩點分別在射線x+y=0(x≤0)，x-y=0(x≥0)上移動，且，動點P滿足．記點P的軌跡為C．

（1）求的值；

（2）求P點的軌跡C的方程，并說明它表示怎樣的曲線？

（3）設點G(-1，0)，若直線y=kx+m（m≠0）與曲線C交于M、N 兩點，且M、N兩點都在以G為圓心的圓上，求k的取值范圍．

得分

評卷人

22．（本題滿分14分）

已知A、B、C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量，，滿足：-=0．記y=f (x)．

    （1）求函數y=f (x)的解析式；

（2）若對任意x∈[，]，不等式>0恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）若關于x的方程f (x)=2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍．

綿陽市高2008級第三次診斷性考試

數學（理）參考解答及評分標準

BACBC    DADAC    DC

13．2               14．60               15．不存在             16．②④

17．解：（1）∵

，  …………………………………3分

由題知，f(x)的最小正周期為，

∴ ．

∴ ．  ……………………………………………………………………4分

∴ +．

此時m應為f (x)的最大值或最小值，

∴ m=，或m=．    ……………………………………………6分

（2）∵ +，

∴

，  ………………………………………8分

∴ 要使函數g(x)是偶函數，則，k∈Z，

解得 ，k∈Z．

∴ 當且僅當k=-1時，取最小正數． ………………………………10分

∴ ．

∴  2kπ-π≤4x≤2kπ，k∈Z，解得≤x≤，k∈Z．

∴  g(x)的單調遞增區(qū)間是[]，k∈Z．   …………………12分

18．（1）證明：∵ PA⊥AD，二面角P-AD-C是直二面角，

∴ PA⊥面ABCD，

∴ PA⊥CD．

如圖，連接AC．∵ ABCD是菱形，∠BAD=120º，

∴ ∠CAD=60º，∠ADC=60º．

∴ △ADC是等腰三角形．

∵ E是CD的中點，

∴ AE⊥CD．

∴ CD⊥面PAE，

∴ 平面PAE⊥面PCD． ……………………………………………………4分

（2）如圖以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz．

∵ PA⊥面ABCD，

∴ ∠PCA是PC與面ABCD所成角．

∴ ∠PCA=45º．

∴ PA=AC=AB=2．

∴ P(0，0，2)．

又∵ D(-1，，0)， A(0，0，0)，

設AF=λ，則0<λ<2，F(λ，0，0)，

∴ (0，0，2)，(λ，0，0)，(-1，，-2)，(λ，0，-2)，

設面APF的法向量為n₁=(x，y，z)，

∴ n₁，n₁，

∴   令y=1，可得n₁=(0，1，0)．…………………………………7分

同理可求得面PDF的一個法向量為n₂=(1，，)． ………………9分

∴  cos<n₁，n₂>=．

假設存在點F滿足條件，則=，

整理得：λ²+8λ-8=0，

解得：λ=（負根已舍）． …………………………………………11分

因為0<<2．

∴  在AB上存在點F滿足條件，此時，AF=．…………………12分

19．解：（1）設盒子中有“會徽卡”n張，依題意有，，

解得n=3．

即盒中有“會徽卡”3張．…………………………………………………3分

（2）因為ξ表示某人一次抽得2張“福娃卡”終止時，所有人共抽取了卡片的次數，所以ξ的所有可能取值為：1，2，3，4．………………………4分

；

；

；

．

ξ

1

2

3

4

概率分布表為：

…………………………………………………………………………10分

∴ ξ的數學期望為Eξ=．  ………………12分

20．解：（1）根據題意可列出如下方程組：

       …………………………………………………………3分

解得a₁₁=1，d=，q=．  …………………………………………………5分

（2）∵  a_nn=a_n1?q^n-1

=[a₁₁+(n-1)d]?q^n-1

=[1+(n-1)×]?()^n-1

=，    ……………………………………………………7分

∴

，

，

兩式相減得 

．

∴ ．    …………………………………………………………10分

于是原不等式化為  4ⁿ-3×2ⁿ-40>0，

即  (2ⁿ+5)(2ⁿ-8)>0．

∴ 2ⁿ>8，

∴ n>3．

故使不等式成立的最小正整數為4．………………………………………12分

21．解：（1）∵ A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)分別在射線=0，上，

∴ ，，即，，

∴ x_Ax_B=-3y_Ay_B．

又∵ ，

∴ x_Ax_B+y_Ay_B=-2．

∴ -2y_Ay_B=-2，

∴ y_Ay_B=1．……………………………………………………………………2分

（2）設P(x，y)．

由可得  ，，

即 ，

∴ ，(y_A+y_B)²=4y²，

兩式相減有：x²?4y²，即．…………………………4分

∵ y_A≥0，y_B≥0，且y_A、y_B不同時為0，

∴ y>0．

∴軌跡C的方程為（y>0），它表示雙曲線的上支．

………………………………………………………………………………5分

（3）

消去x，整理得：(3k²-1)y²+2my-m²-3k²=0．……………………………6分

∵ 直線y=kx+m與曲線C交于M，N兩點，設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

∴ Δ>0，y₁+y₂>0，y₁y₂>0，

即…………………………………8分

由①整理得：m²+3k²-1>0，                ④

由③有：3k²-1<0，                             ⑤

∴  由②有m>0．

又∵  M、N在以點G為圓心的圓上，

設MN的中點為Q，則GQ⊥MN，即．

∵  Q()，

∴  ，，

∴  ．

∴  ．

∵  x₁≠x₂

∴  ，

∴  ．

又∵ ，

∴  ．

整理得4mk=3k²-1，      ⑥…………………………………………………10分

把⑥代入④中有：m²+4mk>0，

由m>0，所以m+4k>0．

又由⑥有m=，代入上式得，

∴ ，

∵  4mk=3k²-1中3k²-1<0，m>0，∴k<0．

于是19k²-1<0．

解得 ．

再由3k²-1<0，得．

綜合得k的取值范圍為(，0)．………………………………………12分

22．解：（1）∵ -=0，

∴  =．

又∵ A、B、C在同一條直線上，

∴  ．

∴  ，即．………………………3分

（2）∵ ，

∴ 原不等式為．

得， ① ……………………………4分

設，

，

依題意知上恒成立，

∵ ，

，

∴  上都是增函數，

∴  要使不等式①成立，當且僅當a<g()或a>h()，

即a<ln，或a>ln．……………………………………………………8分

（3）方程f (x)=2x+b即為，

變形為．

令，x∈[0，1]，

∴ ．………………………10分

列表寫出x，，在[0，1]上的變化情況：

x

0

(0，)

(，1)

1

小于0

0

大于0

ln2

單調遞減

取極小值ln3-

單調遞增

ln5-

………………………………………………………………………………12分

顯然在[0，1]上的極小值也即為它的最小值ln3-．

現在比較ln2與ln5-的大�。�

∵ ln5--ln2==>>0，

∴ ln5->ln2．

∴ 要使原方程在[0，1]上恰有兩個不同的實根，必須使ln3-<b≤ln2．

即實數b的取值范圍為ln3-<b≤ln2．  …………………………………14分