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1.拋擲2顆骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和ξ是一個(gè)隨機(jī)變量,則P(ξ≤4)為(   )

A.            B.             C.            D.

分析 本題考查離散型隨機(jī)變量和的概率.

解 ξ=2對(duì)應(yīng)(1,1)；ξ=3對(duì)應(yīng)(1,2),(2,1)；ξ=4對(duì)應(yīng)(1,3),(2,2),(3,1).故ξ=2,3,4時(shí)分別對(duì)應(yīng)1,2,3個(gè)基本事件.

而整個(gè)事件包含36個(gè)基本事件,由等可能事件的概率公式,得

P(ξ≤4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=++=.

答案 D

2.一班有學(xué)員54人,二班有學(xué)員42人,現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽出一部分人參加4×4方隊(duì)進(jìn)行軍訓(xùn)表演,則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是(    )

A.9人、7人                      B.15人、1人

C.8人、8人                      D.12人、4人

解析 由題意知,各班所抽人數(shù)應(yīng)按各班所占人數(shù)的比例來(lái)抽取,一班被抽取的人數(shù)為16×=9(人);二班被抽取的人數(shù)為16-9=7(人).

答案 A

3.某一天供電網(wǎng)絡(luò),有n個(gè)用電單位,每個(gè)單位在一天中使用電的機(jī)會(huì)都是p,供電網(wǎng)絡(luò)中一天平均用電的單位個(gè)數(shù)是(    )

A.np(1-p)               B.np               C.n             D.p(1-p)

解析 因?yàn)槊刻煊秒妴挝坏膫�(gè)數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布,所以Eξ=np.

答案 B

4.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),記Φ(x)=P(ξ＜x),則下列結(jié)論不正確的是(    )

A.Φ(0)=0.5                     B.Φ(x)=1-Φ(-x)

C.P(|ξ|＜a)=2Φ(a)-1            D.P(|ξ|＞a)=1-Φ(a)

分析 本題考查正態(tài)分布的運(yùn)算.

解 由正態(tài)分布的相關(guān)概念易知A、B、C正確,P(|ξ|＞a)=1-P(|ξ|＜a)=1-［2Φ(a)-1］=2-2Φ(a).

答案 D

5.有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取兩件,若ξ表示取得次品的個(gè)數(shù),則Eξ等于(   )

A.                  B.               C.            D.1

分析 本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,解題的關(guān)鍵是找到與每個(gè)ξ的值相對(duì)應(yīng)的概率P的值.

解 由題意,知ξ取0,1,2,它取每個(gè)值的概率都符合等可能事件的概率公式,即

P(ξ=0)==,

P(ξ=1)= =,

P(ξ=2)= =.

于是Eξ=0×+1×+2×=.

答案 A

6.從存放號(hào)碼分別為1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一張卡片并記下號(hào)碼,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:

卡片號(hào)碼

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

取到的次數(shù)

13

8

5

7

6

13

18

10

11

9

則取到號(hào)碼為偶數(shù)的頻率是(   )

A.0.53                B.0.5             C.0.47               D.0.37

解析

答案 C

7.★某公司有5萬(wàn)元資金用于投資開(kāi)發(fā)項(xiàng)目,如果成功,一年可獲利12%;一旦失敗,一年后將喪失全部資金的50%.下表是過(guò)去100例類似項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的實(shí)施結(jié)果:

投資成功

投資失敗

96次

4次

則該公司一年后估計(jì)可獲收益的期望是(    )

A.4 000元                          B.4 520元

C.25 000元                         D.4 760元

分析 本題考查概率的基本知識(shí)和數(shù)學(xué)期望概念,應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

解 收益的期望為5×12%×-5×50%×=0.476 0(萬(wàn)元)=4 760(元).

答案 D

8.每次從0~9這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字（取后放回），連續(xù)取n次，得到n個(gè)數(shù)字組成的數(shù)字序列.若使該序列中的數(shù)字6至少出現(xiàn)一次的概率為0.8，則n的最小值是（    ）

A.14                B.15                C.16                   D.17

分析 本題考查等可能性事件概率的應(yīng)用.

解 有放回地排列n個(gè)數(shù)字，得10ⁿ個(gè)基本事件，其中不含6的基本事件為9ⁿ.由題意得≥0.8,

即0.9ⁿ≤0.2,∴n≥≈15.3.

∴n最小取16.

答案 C

9.已知隨機(jī)變量ξ~B(9,),則使P(ξ=k)取得最大值的k值為 (    )

A.2               B.3                 C.4                    D.5

分析 ξ~B(n,p)為二項(xiàng)分布,要熟記二項(xiàng)分布的公式P(ξ=k)=p^k(1-p)^n-k,求P(ξ=k)的最大值,還要注意對(duì)不等式組的運(yùn)算.

解 ∵ξ服從二項(xiàng)分布,

∴P(ξ=k)=()^k()^9-k,

要使P(ξ=k)最大,則只需

即

解得k=2.

答案 A

10.右圖是當(dāng)σ取三個(gè)不同值σ₁、σ₂、σ₃的三種正態(tài)曲線N（0,σ²)的圖，那么σ₁、σ₂、σ₃的大小關(guān)系是(   )

A.σ₁>1>σ₂>σ₃>0                    B.0<σ₁<σ₂<1<σ₃

C.σ₁>σ₂>1>σ₃>0                    D.0<σ₁<σ₂=1<σ₃

分析 本題考查正態(tài)曲線的性質(zhì).

解 由正態(tài)曲線,可知

當(dāng)μ=0時(shí)，.

令x=0,得.

當(dāng)σ=1時(shí)，;

當(dāng)0<σ<1時(shí)，它與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于f(0);

當(dāng)σ>1時(shí)，它與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于f(0).

答案 D

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p,現(xiàn)進(jìn)行16次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).當(dāng)p=       時(shí),成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差最大,其最大值為           .

分析 本題考查服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.解題的關(guān)鍵是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù).

解 由于成功的次數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布,所以Dξ=npq=16p(1-p).

∴σξ=16p(1-p)=4p(1-p)≤4×p+1-p[]2=2.

當(dāng)且僅當(dāng)p=1-p,即p=1[]2時(shí)取等號(hào),此時(shí)(σξ)max=2.

另解 σξ=,

∵0≤p≤1,∴當(dāng)p=時(shí),(σξ)_max=2.

答案  2

12.右圖是一樣本的頻率分布直方圖,其中(4,7)內(nèi)的頻數(shù)為4,數(shù)據(jù)在［1,4)∪［7,16)內(nèi)的頻率為        ,樣本容量為          .

分析 本題考查一樣本在給定區(qū)間內(nèi)的頻率及該樣本的容量.注意用相應(yīng)的直方圖面積來(lái)表示在各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的頻率時(shí),所有小矩形的面積和等于1.

解 在(4,7)內(nèi)的頻率為P₁,且=,

所以P₁=.

所以數(shù)據(jù)在［1,4)∪［7,16)內(nèi)的頻率為.

設(shè)樣本容量為n,則=,解得n=22.

答案  22

解析 由題意知ξ=1,2,3.ξ取1,2,3的概率依次是4a,2a,a,因?yàn)?a+2a+a=1,所以a=,即ξ取1,2,3的概率依次是,,.

答案 分布列為

ξ

1

2

3

P

P(ξ＞1)=.

14.將參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的1 000名學(xué)生編號(hào)如下:0 001,0 002,0 003,…,1 000,打算從中抽取一個(gè)容量為50的樣本,按系統(tǒng)抽樣的方法分成50個(gè)部分,如果第一部分編號(hào)為0 001,0 002,0 003,…,0 020,在第一部分隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼為0 015,則抽取的第40個(gè)號(hào)碼為.

解析 由系統(tǒng)抽樣的要求可知,所抽取的號(hào)碼是首項(xiàng)為a₁=0 015,公差為d=20的等差數(shù)列.所以a₄₀=a₁+(40-1)d=0 015+39×20=0 795.

答案 0 795

15.(本小題滿分8分)進(jìn)行某種試驗(yàn),設(shè)試驗(yàn)成功的概率為,失敗的概率為,以ξ表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù),試寫(xiě)出ξ的分布列,并計(jì)算ξ取偶數(shù)的概率.

分析 本題考查如何布列離散型隨機(jī)變量的分布列,以及如何求它的和的概率.其中ξ=k表示前(k-1)次試驗(yàn)失敗而第k次試驗(yàn)成功這一事件,ξ服從幾何分布.它是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率模型.設(shè)事件A₁,A₂,…,A_n相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(A₁?A₂?…?A_n)=P(A₁)?P(A₂)?…?P(A_n).

解 隨機(jī)變量ξ的取值是1,2,3,…,k,….         2分

∵P(ξ=1)=,

P(ξ=2)=?(),

P(ξ=3)=?()²,

…

P(ξ=k)=?()^k-1,

…

ξ

1

2

3

…

K

…

P

?

?（）²

…

?（）^k-1

…

∴ξ的分布列為

5分

取偶數(shù)的概率為

16.(本小題滿分8分)人壽保險(xiǎn)中的某一年齡段,在一年的保險(xiǎn)期內(nèi),每個(gè)被保險(xiǎn)人需交納保險(xiǎn)費(fèi)a元,被保險(xiǎn)人意外死亡則保險(xiǎn)公司賠付3萬(wàn)元,出現(xiàn)非意外死亡則賠付1萬(wàn)元.經(jīng)統(tǒng)計(jì)此年齡段一年內(nèi)意外死亡的概率為p₁,非意外死亡的概率為p₂,則保險(xiǎn)費(fèi)a需滿足什么條件,保險(xiǎn)公司才可能盈利？

分析 本題考查離散型隨機(jī)變量的期望在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.

要使保險(xiǎn)公司盈利,需使它所收總保險(xiǎn)費(fèi)大于總賠付費(fèi),即它的期望大于零.解題的關(guān)鍵是列出分布列,求出數(shù)學(xué)期望.

解 設(shè)ξ為保險(xiǎn)公司對(duì)每一投保人的盈利數(shù),則ξ的可能取值為a,a-30 000,a-10 000.     2分

且P(ξ=a)=1-p₁-p₂,

P(ξ=a-30 000)=p₁,

P(ξ=a-10 000)=p₂.     5分

隨機(jī)變量ξ的概率分布列為

ξ

A

a-30 000

a-10 000

P

1-p₁-p₂

p₁

p₂

6分

Eξ=a(1-p₁-p₂)+(a-30 000)p₁+(a-10 000)p₂

=a-30 000p1-10 000p2.

保險(xiǎn)公司要盈利,必須使Eξ＞0.于是a＞30 000p1+10 000p2.8分

[]17(本小題滿分8分)從全校參加科技知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生試卷中，抽取一個(gè)樣本，考察競(jìng)賽的成績(jī)分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖(如右圖)，圖中從左到右各小組的小長(zhǎng)方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最右邊一組的頻數(shù)是6.

請(qǐng)結(jié)合直方圖提供的信息，解答下列問(wèn)題：

(1)樣本的容量是多少？

(2)列出頻率分布表；

(3)成績(jī)落在哪個(gè)范圍內(nèi)的人數(shù)最多？并求該小組的頻數(shù)、頻率；

(4)估計(jì)這次競(jìng)賽中，成績(jī)不低于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分率.

分析 當(dāng)樣本中的個(gè)體取不同的值較多時(shí)，通常用頻率分布直方圖的面積來(lái)表示各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，所有小矩形的面積之和等于1.

解 (1)由于各組的組距相等，所以各組的頻率與各小長(zhǎng)方形的高成正比且各組頻率的和等于1，那么各組的頻率分別為,,,,.設(shè)樣本容量為n,則=,所以樣本容量n=48.                             

2分

(2)

成績(jī)

頻數(shù)

頻率

50.5~60.5

3

60.5~70.5

9

70.5~80.5

18

80.5~90.5

12

90.5~100.5

6

合計(jì)

48

1

5分

(3)成績(jī)落在70.5~80.5之間的人數(shù)最多，該組的頻數(shù)和頻率分別是18和.    6分

(4)不低于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分率為1-≈94%.        8分

18.(本小題滿分10分)設(shè)一汽車在前進(jìn)途中要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口,汽車在每個(gè)路口遇到綠燈的概率為,遇到紅燈(禁止通行)的概率為.假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn),ξ表示停車時(shí)已經(jīng)通過(guò)的路口數(shù),求:

(1)ξ的概率的分布列及期望Eξ;

(2)停車時(shí)最多已通過(guò)3個(gè)路口的概率.

分析 本題重點(diǎn)考查概率與分布的基礎(chǔ)知識(shí).正確確定隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每一個(gè)值的概率是解決本題的關(guān)鍵.

解 (1)ξ的所有可能值為0,1,2,3,4.

用A_k表示“汽車通過(guò)第k個(gè)路口時(shí)不停(遇綠燈)”,

則P(A_k)=(k=1,2,3,4),且A₁,A₂,A₃,A₄獨(dú)立.

故P(ξ=0)=P()=,     2分

P(ξ=1)=P(A₁?)=×=,

P(ξ=2)=P(A₁?A₂?)=()²×=,

P(ξ=3)=P(A₁?A₂?A₃?)=()³×=,

P(ξ=4)=P(A₁?A₂?A₃?A₄)=()⁴=.       5分

從而ξ有分布列

ξ

0

1

2

3

4

P

6分

Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.    8分

(2)P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-=.

答:停車時(shí)最多已通過(guò)3個(gè)路口的概率為.             10分

19.(本小題滿分10分)某5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和化學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤?

       學(xué)生

學(xué)科

A

B

C

D

E

數(shù)學(xué)成績(jī)（x）

88

76

73

66

63

化學(xué)成績(jī)(y)

78

65

71

64

61

(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖;

(2)求化學(xué)成績(jī)(y)對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)(x)的回歸直線方程.

分析 本題考查如何求回歸直線的方程.分清自變量與因變量是正確解題的關(guān)鍵.

解 (1)

         3分

(2)

序號(hào)

x

Y

x²

y²

xy

1

2

3

4

5

88

76

73

66

63

78

65

71

64

61

7 744

5 776

5 329

4 356

3 969

6 084

4 225

5 041

4 096

3 721

6 864

4 940

5 183

4 224

3 843

∑

366

339

27 174

23 167

25 054

5分

     9分

所以y對(duì)x的回歸直線方程為=0.62x+22.06.         10分