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互化公式： 或

θ的象限由點(diǎn)(x,y)所在的象限確定.

例1(2007海南寧夏)⊙O₁和⊙O₂的極坐標(biāo)方程分別為，．

(I)把⊙O₁和⊙O₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(II)求經(jīng)過(guò)⊙O₁，⊙O₂交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．

解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．

(I)，，由得．所以．

即為⊙O₁的直角坐標(biāo)方程．

同理為⊙O₂的直角坐標(biāo)方程．

(II)解法一:由解得，

即⊙O₁，⊙O₂交于點(diǎn)(0,0)和(2,－2)．過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=－x．

解法二: 由,兩式相減得－4x-4y=0,即過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=－x．

評(píng)述:本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法及兩圓公共弦所在直線方程的求法.

例2(2003全國(guó))圓錐曲線的準(zhǔn)線方程是                                   

   (A)  (B) (C)   (D)  

解: 由去分母后兩邊同時(shí)乘以得:,所以x²=8y ,其準(zhǔn)線方程為y=,在極坐標(biāo)系中方程為,故選C.

例3(1998年上海)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸                       建立極坐標(biāo)系,若橢圓兩焦點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是(1,),(1,),長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,則此                  橢圓的直角坐標(biāo)方程是_______________.

   解：由已知條件知橢圓兩焦點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b²=a²-c²=3,

   故所求橢圓的直角坐標(biāo)方程為=1

評(píng)述：點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的                          互化要熟練掌握.

類題:1(1995年上海)把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.若曲線的極坐標(biāo)方程是,則它的直角坐標(biāo)方程是___________.                          (答案:3x²-y²=1)

2(1998年全國(guó))曲線的極坐標(biāo)方程=4sin化成直角坐標(biāo)方程為

        (A)   x²+(y+2)²=4     (B)  x²+(y-2)²=4 

        (C)   (x-2)²+y²=4      (D)  (x+2)²+y²=4              (答案:B)

3(2002北京)已知某曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù))若以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,長(zhǎng)度單位不變，建立極坐標(biāo)系，則該曲線的極坐標(biāo)方程是

       (A)  (B)  (C) (D)   (答案:D)

       常見的直線和圓的極坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)不變性:

 1、直線的極坐標(biāo)方程(a>0)

    (1)過(guò)極點(diǎn),并且與極軸成α角的直線的極坐標(biāo)方程:=α;

    (2)垂直于極軸和極點(diǎn)間的距離為a的直線的極坐標(biāo)方程:cos=a;

    (3)平行于極軸和極軸間的距離為a的直線的極坐標(biāo)方程:sin=a;

    (4)不過(guò)極點(diǎn),和極軸成角,到極點(diǎn)距離為a的直線的極坐標(biāo)方程:

        sin(α-θ)=a.

2、圓的極坐標(biāo)方程(a>0)

    (1)圓心在極點(diǎn),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程: =a;

    (2)圓心在(a,0),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程: =2acos;

    (3)圓心在(a,),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程: =;

    (4)圓心在(a,),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程: =2asin;

    (5)圓心在(a,),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程: =;

    (6)圓心在(a, ₀),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程: =2acos(-₀).

3、極坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)不變性:

      曲線f(,+)=0是將曲線f(,)=0繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)||角(時(shí),按順

      時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),時(shí),按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn))而得到.

例4(1990年全國(guó))極坐標(biāo)方程4sin²=5所表示的曲線是

    (A)圓           (B)橢圓      (C)雙曲線的一支    (D)拋物線

解:由已知極坐標(biāo)方程及三角公式得:2(1-cos)=5,

  ∴2=2cos+5,由互化公式得2=2x+5,平方整理得

    y²=5(x+),方程表示的曲線是拋物線,故選D.

評(píng)述:對(duì)于給出的極坐標(biāo)方程相對(duì)于極坐標(biāo)系而言不是標(biāo)準(zhǔn)的,一般將其等價(jià)轉(zhuǎn)                   化為直角坐標(biāo)方程來(lái)判斷其曲線類型.

類題:1(1991年三南)極坐標(biāo)方程4sin²=3表示的曲線是

      (A)二條射線  (B)二條相交直線  (C) 圓    (D) 拋物線       (答案:B)

    2(1987年全國(guó))極坐標(biāo)方程=sin+2cos所表示的曲線是

      (A)直線      (B)圓          (C)雙曲線   (D) 拋物線       (答案:B)

    3(2001年廣東、河南)極坐標(biāo)方程²cos2=1所表示的曲線是

(A)兩條相交直線   (B)圓      (C)橢圓    (D)雙曲線       (答案:D)

4(2003北京)極坐標(biāo)方程表示的曲線是                    

(A)圓            (B)橢圓            (C)拋物線    (D)雙曲線      (答案:D)

例5(1994年全國(guó))極坐標(biāo)方程=cos(-)所表示的曲線是

      (A) 雙曲線         (B)橢圓       (C)拋物線    (D)圓

     解:曲線=cos(-)=cos(-)是把圓=cos繞極點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋

     轉(zhuǎn)而得,曲線的形狀仍然是一個(gè)圓,故選D

評(píng)述:把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程較為麻煩,利用旋轉(zhuǎn)不變性則更容易得出答案.方程cos(-₀)=0表示一條直線,方程=acos(-₀)表示半徑為,

         圓心為(,₀)的圓,要注意兩者的區(qū)別.

例6(2001年全國(guó))極坐標(biāo)方程=2sin(+)的圖形是

(A)           (B)                (C)               (D)

解:圓=2sin(+)是把圓=2sin繞極點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得,圓心的極坐標(biāo)為(1,),故選C.

類題:1(2002江蘇)極坐標(biāo)方程與=的圖形是

     (A)              (B)               (C)             (D)

(答案:B)

2(2004北京春)在極坐標(biāo)系中，圓心在(且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為

(A)  (B) (C)   (D)

(答案:B)

    例7(2000年京皖春)直線=和直線sin(-)=1的位置關(guān)系

        (A) 垂直       (B) 平行        (C)   相交但不垂直    (D)  重合

     解:直線sin(-)=1是把直線sin=1繞極點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角          而得, 從而兩直線平行,故選B.

     評(píng)注:對(duì)直線sin(-)=1與直線sin=1的關(guān)系要十分熟悉.

    例8(2002北京春)在極坐標(biāo)系中,如果一個(gè)圓的方程是r=4cosq+6sinq，那么過(guò)圓心且與極軸平行的直線方程是

(A) rsinq=3     (B) rsinq = ?3    (C) rcosq =2     (D) rcosq = ?2

解:將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得:x²+y²=4x+6y,即(x-2)²+(y-3)²=13.

圓心為(2,3),所求直線方程為y=3,即rsinq=3,故選A.

    評(píng)述:注意直線的直角坐標(biāo)方程極易求出.

   類題:1(1992年上海)在極坐標(biāo)方程中,與圓=4sin相切的一條直線的方程是

       (A) sin=2  (B)cos=2  (C)cos= 4  (D) cos=- 4(答案:B)

      2(1993年上海)在極坐標(biāo)方程中,過(guò)點(diǎn)M(2,)且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是_______.                             (答案: sin=2)

3(1994年上海)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1,),那么過(guò)點(diǎn)P且垂直于極軸的

直線的極坐標(biāo)方程為

        (A)=1     (B)=cos   (C)=   (D)= (答案:C)

   4(2000年全國(guó))以極坐標(biāo)系中點(diǎn)(1,1)為圓心,1為半徑的圓的方程是

       (A)=2cos(-) (B)=2sin(-) (C)=2cos(-1) (D)=2sin(-1)

                                                            (答案:C)

五、求曲線中點(diǎn)的極坐標(biāo)

例9(2003上海)在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A(1,),點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的極坐標(biāo)是_________.

解:在直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),B在直線x+y=0上, AB最短,則B為,化為極坐標(biāo)為.

例10(1999年上海)極坐標(biāo)方程5²cos2+²-24=0所表示的曲線焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為__________.

     解:由5²cos2+²-24=0得5²(cos²-sin²)+²-24=0化為直角坐標(biāo)方程得,該雙曲線的焦點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(,0)與(-,0),故所求        焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為(,0)、(,).

  評(píng)述:本題考查圓錐曲線極坐標(biāo)方程的基礎(chǔ)知識(shí),掌握點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)                      的對(duì)應(yīng)關(guān)系極為有用.

例11(2001年京皖蒙春)極坐標(biāo)系中,圓=4cos+3sin的圓心的坐標(biāo)是

    (A) (,arcsin)  (B)(5,arcsin)    (C)(5,arcsin)     (D)(,arcsin)

解:由= 4cos+3sin=5(cos+sin)=5cos(-φ)(其中sinφ=)

  所以所求圓心坐標(biāo)為(,arcsin),故選A.

類題：(2002上海)若A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為A(4,),B(6,0),則AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)是_________.(極角用反三角函數(shù)值表示).           答案.()

六、求距離

例12(2007廣東文)在極坐標(biāo)系中，直線的方程為ρsinθ=3，則點(diǎn)(2,)到直線的距離為___________.

解: 將直線的極坐標(biāo)方程ρsinθ=3化為直角坐標(biāo)系方程得:y=3,

點(diǎn)(2,)在直角坐標(biāo)系中為(,1),故點(diǎn)(2,) 到直線的距離為2.

評(píng)注：本題主要考查極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的互化.

例13(1992年全國(guó)、1996年上海)極坐標(biāo)方程分別是=cos和=sin的兩個(gè)圓的圓心距是

    (A)   2           (B)            (C)  1          (D)   

解法一:兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(,0)與(,),由此求得圓心距為,選D.

解法二:將極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程得(x-)²+y²=與x²+(y-)²=,

      由此求得圓心距為,選D.

評(píng)述:本題考查對(duì)極坐標(biāo)的理解,理解深刻者可在極坐標(biāo)系上畫出簡(jiǎn)圖直接求解,

一般理解者,化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程也能順利得到正確答案.

例14(1997年全國(guó))已知直線的極坐標(biāo)方程為sin(+)=,則極點(diǎn)到該直線的距離是_______.

        解法一:化直線方程為=,根據(jù)極坐標(biāo)的概念極點(diǎn)到該直線

的距離等于這個(gè)函數(shù)ρ的最小值,當(dāng)sin(+)=1時(shí), 取最小值即為所求.

解法二:對(duì)極坐標(biāo)欠熟悉時(shí),可把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程x+y=1,

      應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式得原點(diǎn)到此直線的距離為.

類題:1(2000年上海)在極坐標(biāo)系中,若過(guò)點(diǎn)(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線= 4cos于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=______.                     (答案:2)

2(2004上海)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(4,)到直線:的距離d=__________________.                               (答案:)

七、判定曲線的對(duì)稱性

    例15(1999年全國(guó))在極坐標(biāo)系中,曲線= 4sin(-)關(guān)于

           (A)  直線=軸對(duì)稱    (B)直線=軸對(duì)稱

           (C)  點(diǎn)(2, )中心對(duì)稱    (D)極點(diǎn)中心對(duì)稱

解:把圓= 4sin繞極點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)便得到曲線

= 4sin(-)=,

          知其圓心坐標(biāo)為(2,),故圓的對(duì)稱軸為=,應(yīng)選B.

   評(píng)述:方程表示的曲線是圓,為弄清軸對(duì)稱或中心對(duì)稱的問(wèn)題,關(guān)鍵是求出其

        圓心的坐標(biāo).

八、求三角形面積

例16(2006上海)在極坐標(biāo)系中,O是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A(4,)，B(5,)，則△OAB的面積是       .

解:如圖所示,在△OAB中，

評(píng)述:本題考查極坐標(biāo)及三角形面積公式.