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1．已知全集U={1,2,3, 4,5,6}，集合P={1,2,3,4}，Q={3,4,5,6}，則P

A．{1,2}                            B．{3,4}                            C．                       D．1

2．已知a=（cos40°，sin40°），b+（sin20°，cos20°），則a?b的值為

A．                      B．                         C．                       D．1

3．將函數(shù)y=sin2x的圖象按向量a=（-）平移后的圖象的函數(shù)解析式為

A．y=sin（2x+）     B． y=sin（2x-）    C． y=sin（2x+）    D． y=sin（2x-）

4．已知雙曲線,雙曲線上的點P到左焦點的距離與點P到左準(zhǔn)線的距離之比等于

A．                         B．                         C．                      D．

5．（2x+）的展開式中的x系數(shù)是

A．6                           B．12                          C．24                          D．48

6．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是

A．y=                      B．y=2                    C．y=lg              D．

7．將棱長相等的正方體按右圖所示的形狀擺放，從上往下依次為第一層，第二層，第三層…，則第6層正方體的個數(shù)是

A．28                          B．21                          C．15                          D．11

8．設(shè)為兩兩不重合的平面，為兩條不重合的直線，給出下列四個命題：

①若∥，則；

②若∥，則∥；

③若

④若⊥，．

其中真命題的個數(shù)是

A．1                           B．2                            C．3                            D．4

9．若

      A．充分不必要條件                                        B．必要不充分

C．充要條件                                                  D．既不充分也不必要條件

10．如果一條直線與一個平面平行，那么，稱此直線與平構(gòu)成一個“平行線面線”．在一個平行六面體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面線”的個數(shù)是

A．60                          B．48                          C．36                          D．24

第Ⅱ卷（非選擇題  共100分）

11．一個電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)止的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為15000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示：

很喜愛

喜愛

一般

不喜愛

3000

4500

5000

2500

電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取選出150人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查，為此要進(jìn)行分層抽樣，那么在“喜愛”這類態(tài)度的觀眾中抽取的人數(shù)為_____________

12．已知log,函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則g（1）=____________

13．已知圓關(guān)于直線y=2x+b成軸對稱，則b=_________．

14．函數(shù)的最小正周期是______________．

15．一個正四棱柱的頂點都在球面上，底面邊長為1，高為2，則此球的表面積為________．

16．已知拋物線的直線與拋物線相交于兩點，則的最小值是___________．

17．（本小題滿分12分，第一小問滿分6分，第二小問滿分6分）

已知數(shù)列（）是等差數(shù)列，（）是等比數(shù)列，且a₁=b₁=2,b₄=54,a₁+a₃=b₂+b₃．

（1）求數(shù)列{}的通項公式

（2）求數(shù)列{}的前10項和S．

18．（本小題滿分14分，第一小問滿分6分，第二小問滿分8分）

一個口袋內(nèi)裝有大小相同且已編有不同號碼的4個黑球和3個紅球，某人一次從中摸出2個球。

（1）如果摸到球中含有紅球就中獎， 那么此人中獎的概率是多少？

（2）如果摸到的兩個球都時紅球，那么就中大獎，在有放回的3次摸球中，此人恰好兩次中大獎的概率是多少？

19．（本小題滿分16分，第一小問滿分5分，第二小問滿分5分，第三小問滿分6分）

在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．

（1）求證：PA⊥平面ABCDE；

（2）求二面角A-PD-E的大��；

（3）求點C到平面PDE的距離．

20．（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分5分，第三小問滿分5分）

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，設(shè)直線l經(jīng)過點P（3，），且與x軸交于點F（2,0）．

（1）求直線l的方程；

（2）如果一個橢圓經(jīng)過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）若在（Ⅰ）（Ⅱ）的情況下，設(shè)直線l與橢圓的另一個交點Q，且,當(dāng)｜｜最小時，求對應(yīng)值．

21．（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分5分，第三小問滿分5分）

已知．

（1）若

（2）當(dāng)b為非零實數(shù)時，證明（-c）平行的切線；

（3）記函數(shù)||（-1≤x≤1）的最大值為M，求證：M≥．

南京市2007屆高三質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

A

D

C

C

B

C

D

B

11．45　　12．0　　13．4　　14．π　　15．6π　　16．2

17．（1）∵{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=2,b₄=54,

       　∴q³==27．                                                                        3分

       　∴q=3． ∴b_n=b₁?q^n-1=2?3^n-1．                                                  6分

（2）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁+a₂+a₃=b₂+b₃,

       　　又b₂+b₃=6+18=24,∴a₁+a₂+a₃=3a₂=24,∴a₂=8．

              從而d=a₂-a₁=8-2=6．                                                          9分

              ∴a₁₀=a₁+（10-1）d=2+9×6=56．

              ∴S₁₀==290                     　12分

18．（1）記“從袋中摸出的兩個球中含有紅球”為事件A，                 1分

       　則P（B）==．                                                       5分

       　（或“不含紅球即摸出的兩個球都是黑球”為事件）．

       　∵P（）=．∴P（A）=-1-P（）=．                             5分

       　答：此人中獎的概率是．                                                    6分

（2）記從“袋中摸出的兩個球都是紅球”為事件B，                           7分

則P（B）＝＝．                                                          10分

由于有放回的3次摸，每次是否摸到兩個紅球之間沒有影響．

所以3次摸球恰好有兩次中大獎相當(dāng)于作3次獨立重復(fù)試驗，

根據(jù)n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率公式得，

P₃（2）＝C²₃（）²?（1-）^3-2=．                                     13分

答：此人恰好兩倍欠中大獎的概率是．                                  14分

19．（1）證明∵PA=AB=2a，PB=2a,

∴PA²+AB²=PB²，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．

同理PA⊥AE．                                                                                   3分

∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．                                           5分

   （2）解法一：∵∠AED＝90°，

∴AE⊥ED．

∵PA⊥平面ABCDE，

∴PA⊥ED．

∴ED⊥平面PAE．

過A作AG⊥PE于G，

過DE⊥AG，

∴AG⊥平面PDE．

過G作GH⊥PD于H，連AH，

由三垂線定理得AH⊥PD．

∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角．                                               8分

在直角△PAE中，AG＝a．

在直角△PAD中，AH＝a，

∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．∴∠AHG＝arcsin．

∴二面角A-PD-E的大小為arcsin．                                    10分

解法二：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,

則B（2a,0,0）,E（0,2a,0）,P（0,0,2a）,D（a,2a,0）,C（2a,a,0）,

過A作AN⊥PD于N，

∵＝（a,2a,-2a）,

設(shè)=λ,

∴=+=（λa,2λa,2a-2λa）

∵AN⊥PD，

∴?=0．

∴a?λa+2a?2λa-2a?（2a-2λa）=0．

解得λ=．

∴=（a，a, a）

即=（-a, -a, -a）

同理，過E作EM⊥PD于M，

則=（-a, a, -a）．                                                                  8分

二面角A-PD-E的大小為，所成的角<，>．

∵cos<,>=arccos=．

∴<,>=arccos=．

∴二面角A-PD-E的大小為arccos．                                            10分

（3）解法一：∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,

   BC=DE=a,AB=AE=2a,

   取AE中點F，連CF，

   ∵AF∥=BC,

   ∴四邊形ABCF為平行四邊形．

   ∴CF∥AB，而AB∥DE，

   ∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，

   ∴CF∥平面PDE．

   ∴點C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離．

   ∵PA⊥平面ABCDE，

   ∴PA⊥DE．

   又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．

   ∴平面PAE⊥平面PDE．∴過F作FG⊥PE于G，則FG⊥平面PDE．

   ∴FG的長即F點到平面PDE的距離．                                                      13分

     在△PAE中，PA=AE=2a，F為AE中點，FG⊥PE，

   ∴FG=a． ∴點C到平面PDE的距離為a．                                  16分

   解法二：∵PA平面ABCDE，∴PA⊥DE，

   又∵∠DEA=90°，∴DE⊥平面PAE，∴DE⊥PE．

   ∵BC=DE=a，AB=AE=2a，

   連接CE，

則S_△CDE=a²，S_△DEP=a² ．

 ∵V_P-CDE=?PA?S_△CDE=?2a?a²＝a²．                                                  13分

  設(shè)點C到平面PDE的距離為h，

則V _C-PDE＝?h?S_△PDE=?h?a²＝a²h．

   ∵V_P-CDE=V_C-PDE,

   即a³＝a²h，

   解得h＝a．即點C到平面PDE的距離為a．                                16分

解法三：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,

則B（2a,0,0）,E（0,2a,0）,P（0,0,2a）,

D（a,2a,0）,C（2a,a,0）,

設(shè)平面PDE的一個法向量為n=（x,y,1）,

∵＝（0,2a,-2a）,=（-a,0,0）,

又∵n⊥平面PDE．

∴n⊥，n⊥．

∴

即

解得

∴n=（0,1,1）．                                                                                       13分

∵=（-a,a,0）,

∴cos<,n>=

∵0≤<，n>≤π，

∴<，n>=．

∵過C作CH⊥平面PDE于H，則CH=||?|cos<，n>|，

即點C到平面PDE的距離為

||?|cos<,n>|=a．                                                                     16分

20．（1）∵P（3，），F（2,0），

∴根據(jù)兩點式得，所求直線l的方程為=

即y=（x-2）．

∴直線l的方程是y=（x-2）．                                                                      4分

   （2）解法一：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1（a>b>b）,

∵一個焦點為F（2,0），

∴c=2．

即a²-b²=4     ①                                                                                        5分

∵點P（3，）在橢圓=1（a>b>0）上，

∴=1  ②                                                                                       7分

由①，②解得a²=12,b²=8．

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．                                                    9分

解法二：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1（a>b>0）,

∵c=2,a²-b²=4．                                                                                                  6分

∴橢圓的另一個焦點為F₁（-2,0）．

由橢圓過點P（3，），

∴2a=|PF₁|+|PF₂|=+=4．

∴a²=12,b²=8．

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．                                                    9分

   （3）解法一：由題意得方程組

解得或

∴Q（0，2）．                                                                                      11分

=（-3,-3）．

∵=λ=（-3λ，3λ），

∴=+=（3-3λ，,3λ）．

∴||=

       ==，

∴當(dāng)λ=時，||最小．                                                                         14分

解法二：由題意得方程組解得或

∴Q（0，-2）．

∵=λ=（-3λ，3λ），

∴點M在直線PQ上，∴||最小時，必有OM⊥PQ．

∴k_OM=-=-．

∴直線OM的方程為y=-x．

直線OM與PQ的交點為方程組的解，解之得

∴M（，-），∴=（-，-）

∵=λ，即（-，-）=λ（-3，-3），∴λ=．

∴當(dāng)λ=時，||最�。�                                                                         14分

21．（1）∵f′（x）=3x²+2bx+c,

由f（x）在x=1時，有極值-1得                                                2分

即解得                                                            3分

當(dāng)b=1，c=-5時，f′（x）=3x²+2x-5=（3x+5）（x-1）,

當(dāng)x>1時，f′（x）>0，當(dāng)-<x<1時，f′（x）<0．

從而符合在x=1時，f（x）有極值．∴                                           4分

   （2）假設(shè)f（x）圖象在x=t處的切線與直線（b²-c）x+y+1=0平行,

∵f′（t）=3t²+2bt+c,

直線（b²-c）x+y+1=0的斜率為c-b²,

∴3t²+2bt+c=c-b²,

即3t²+2bt+b²=0．

∵△=4（b²-3b²）=-8b²,

又∵b≠0，△<0．

從而方程3t²+2bt+b²=0無解,

因此不存在t，使f′（t）=c-b²,

即f（x）的圖象不存在與直線（b²-c）x+y+1=0平行的切線．                       9分

   （3）證法一：∵|f′（x）|=|3（x+）²+c-|,

①若|-|>1，則M應(yīng)是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一個，

∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12,

∴M>6，

從而M≥．                                                                                               11分

②當(dāng)-3≤b≤0時，2M≥|f′（-1）|+|f′（-）|=|3-2b+c|+|c-|≥|-2b+3|=|（b-3）²|>3,

∴M≥．

③當(dāng)0<b≤3時，2M≥|f′（1）|+|f′（-）|=|3+2b+c|+|c-|≥|+2b+3|=|（b+3）²|>3,

∴M≥．                                                                                                  

綜上所述，M≥．                                                                                     14分

證法二：f′（x）=3x²+2bx+c的頂點坐標(biāo)是（-，），

①若|-|>1，則M應(yīng)是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一個，

∴2M≥| f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥4|b|>12②

∴M>6，

從而M≥．                                                                                               11分

②若|-|≤1，則M|f′（-1）|、|f′（1）|、||中最大的一個．

（i）當(dāng)c≤-時，2M≥|f′（1）|+ |f′（-1）|≥|f′（1）+ f′（-1）|=|6+2x|≥3,

  M≥．

（ii）當(dāng)c<-時，M≥||=-c≥-c>，

綜上所述，M≥成立．                                                                           14分

證法三：∵M是|f′（x）|,x∈[-1,1]的最大值，

∴M≥|f′（0）|,M≥|f′（1）|，M≥|f′（-1）|．                                            11分

∴4M≥2|f′（0）|+|f′（1）|+|f′（-1）|≥|f′（1）+f′（-1）-2f′（0）|=6,

即M≥．                                                                                                 14分